Stan nieustalony w dwójniku szeregowym RL
Włączenie napięcia stałego w obwodzie RL przy zerowych warunkach początkowych
Załóżmy, że do gałęzi zawierającej połączone szeregowo elementy R L w chwili t=0
doprowadzono napięcie stałe. Odpowiada to zamknięciu w chwili t=0 wyłącznika
w obwodzie jak na rysunku
w
i
R
U
L
Stan początkowy obwodu jest zerowy tzn. w chwili t=0 z elementem indukcyjnym L nie jest
związana żadna energia.. Po zamknięciu wyłącznika w obwodzie powstaje stan nieustalony.
Wyznaczmy przebieg prądu i w funkcji czasu. Prąd ten zmienia się od zera do wartości
ustalonej
U
(1)
i =
R
gdyż w obwodzie prądu stałego w stanie ustalonym napięcie na elemencie indukcyjnym jest
równe zeru.
Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa, bilans napięć w obwodzie ma postać:
di
U = Ri + L
dt
Pierwszy składnik prawej strony równia jest napięciem na rezystancji a drugi składnik jest
napięciem indukcji własnej indukowanym przez zmieniający się w czasie prąd i płynący
przez element indukcyjny.
Dzieląc równanie obustronnie przez R i porządkując do zmiennych rozdzielonych
otrzymujemy kolejno:
U L di
= i +
R R dt
U L di
i - = -
R R dt
Dokonujemy rozdzielenia zmiennych względem czasu i prądu:
di R
= - dt (2)
U
L
i -
R
Rozdzieliliśmy zmienne w taki sposób, że po lewej stronie równania (2) mamy prąd, a po
prawej czas.
W celu wyznaczenia prądu scałkujemy obie strony równania (2) i otrzymamy:
1
U R
ś#
ln�#i - ź# - t + B B- stała całkowania
=
ś#
R L
�# #
Stąd wyznaczamy prąd i
R
- t
U
L
i - = Ae (3)
R
przy czym A jest stałą całkowania.
Stałą całkowania A wyznaczymy z warunku początkowego, korzystając z pierwszego prawa
komutacji. Ponieważ w chwili t=0 prąd w obwodzie był równy zeru, tzn. w chwili tuż po
zamknięciu wyłącznika wartość prądu musi pozostać nie zmieniona.
Zatem gdy t=0, i=0. Podstawimy te wartości do równania (3) i otrzymamy stałą całkowania
U
A = - (4)
R
Ostatecznie dla dowolnej chwili t>0 równanie opisujące prąd po uwzględnieniu równania (4)
uzyska postać
R
- t
U U
L
i - = - e
R R
Co można zapisać
R
�# - t ś#
U
(5)
ś#1- e L ź#
i =
ś# ź#
R
�# #
Pierwsza składowa prawej strony równania (5) jest nazywana składową ustaloną prądu (patrz
równanie (1)), a druga
R
- t
U
L
- e
R
jest nazywana składową przejściową prądu.
Składowa przejściowa prądu ma w chwili t=0 wartość
U
i(t = 0) = -
R
oraz w miarę upływu czasu asymptotycznie dąży do zera.
Na rysunku a) przedstawiono przebieg w funkcji czasu
składowej ustalonej , przejściowej oraz prądu wypadkowego
i będącego sumą tych składowych.
Prąd wypadkowy dąży asymptotycznie do wartości prądu
ustalonego i jego przebieg ma charakter krzywej wykładniczej.
Jeżeli mamy wyznaczony prąd w stanie nieustalonym, to
możemy również wyznaczyć napięcie na rezystancji
uR i napięcie na indukcyjności uL. Napięcie na rezystancji
wyznacza się następująco:
R R
�#U U - t ś# -
(6)
L L
ś# ź#
uR = Ri = Rś# - e = U -Ue t
ź#
R R
�# #
2
Napięcie na indukcyjności:
R R
Ą#
di U R
ś#e- t ń# Ue- t
L L
uL = L = Ló#- �"�#- ź#
=
ś#
Ą# (7)
dt R L
�# #
Ł# Ś#
Przebiegi wyznaczonych powyżej napięć przedstawiono na rysunku b). Z równań (6) i (7)
oraz z rys. b) wynika, ze w każdej chwili suma napięć na rezystancji i indukcyjności jest
równa napięciu U doprowadzonemu do obwodu. W chwili t = 0 napięcie na indukcyjności
ma wartość największą wynoszącą U i w miarę upływu czasu napięcie to zmniejsza się do
zera. Natomiast napięcie na rezystancji w chwili t= 0 jest równe 0 i w miarę upływu czasu
zwiększa się do wartości U. Z powyższego wynika też, że w chwili komutacji napięcie na
indukcyjności zmienia się ,,skokiem od wartości zero do wartości U.
Stała czasowa obwodu RL
R
�# - t ś#
U
L
ś#
i = e
Z równania
ś#1- ź# wynika, że w zależności od wartości rezystancji R oraz
ź#
R
�# #
indukcyjności L zanikanie składowej przejściowej w funkcji czasu może być szybsze lub
wolniejsze. W celu zbadania tego zagadnienia wprowadzimy wielkość fizyczną zwaną stałą
czasową, określaną wzorem
L
� =
R
Stalą czasową mierzy się w sekundach.. Po uwzględnieniu tego wzoru równanie
R
�# - t ś#
U
ś#1- e L ź#
możemy zapisać
i =
ś# ź#
R
�# # t
�# - ś#
U
ś#1- e � ź#
i =
ś# ź#
R
�# #
Definicja :
Stała czasowa � to czas , po upływie którego wartość bezwzględna składowej
przejściowej maleje e razy.
U
W chwili t = 0 składowa przejściowa prądu ma wartość ip = -
R
W celu wyznaczenia wartości składowej przejściowej prądu po upływie czasu równego
jednej stałej czasowej podstawimy t = � a więc otrzymamy
U U
ip = - e-1 =
R Re
Otrzyma1iśmy potwierdzenie podanej definicji. W ten sam sposób możemy wyznaczyć
wartość składowej przejściowej prądu po upływie czasu t = 2� t = 3� i tak dalej. Na
podstawie tak przeprowadzonych obliczeń zestawiamy w tabelce wartość bezwzględną
składowej przejściowej prądu w stosunku do składowej ustalonej.
3
Czas t 0 � 2� 3� 4�
ip/iu 1 0,36 0,13 0,04 0,009
Z przytoczonych danych wynika, że po czasie równym 5� składowa przejściowa prądu
stanowi mniej niż 0,01 składowej ustalonej. W praktyce przyjmuje się, że po czasie równym
4� � 5� obwód znajduje się w stanie ustalonym. Stała czasowa jest dogodną wielkością,
która pozwala na podstawie parametrów obwodu wyznaczyć praktyczny czas trwania stanu
nieustalonego.
Stałą czasową można zdefiniować również w inny sposób.
Jeśli poprowadzimy styczną do krzywej prądu w chwili t=0, to przetnie ona asymptotę prądu
po czasie � . Z konstrukcji przeprowadzonej na rysunku wynika też, że jest to słuszne dla
stycznej do krzywej prądu poprowadzonej w dowolnym punkcie.
Rysunek 1.1
Stąd też inna definicja stałej czasowej.
Stała czasowa � jest to czas , po upływie którego prąd nieustalony osiągnąłby wartość
ustaloną , gdyby jego narastanie miało charakter liniowy, czyli prędkość zwiększania się
prądu była stała i równa prędkości zwiększania się w chwili początkowej.
Z wykresu widzimy też że po czasie równym 4� -5� prąd praktycznie jest ustalony.
Od wartości stałej czasowej, a więc od wartości parametrów obwodu zależy czas
(praktyczny) trwania stanu nieustalonego. Im jest większa stała czasowa, tym łagodniej
narasta prąd (patrz rysunek poniżej).
Na rysunku powyżej przedstawiono trzy krzywe prądu dla różnych wartości stałej czasowej,
a więc dla różnych stosunków L do R. Jeże1i np. założymy, że rezystancja obwodu jest stała,
a indukcyjność może się zmieniać, to w miarę zwiększania wartość L zwiększa się stała
czasowa i narastanie prądu jest wolniejsze. Stąd wniosek, że obwody o dużej indukcyjności
wolno osiągają wartości ustalone. Z podanych w tekście wzorów wynika , że prąd i napięcia
na elementach mają tą samą stałą czasową.
4
Wskazówki do sprawozdania
1. Odczytanie napięcia Uo z wykresu otrzymanego z komputera dla obwodu RL przy
zerowych warunkach początkowych. Jest to napięcie dla stanu ustalonego.
2. Wyznaczenie wartości napięcia E baterii (na ekranie monitora).
3. Wyznaczenie wartości napięcia dla t = � .
U� = 0,6321U0
4. Odczytanie z dekady (wartość poda prowadzący ćwiczenie).
Rpom
U0
5. Wyznaczenie
I0 =
Rpom
E
RObw =
6. Wyznaczenie
I0
7. Graficzne wyznaczenie wartości stałej czasowej � z wykresu.
8. Wyznaczenie indukcyjności cewki
L = � �" RObw
9. Graficzne wyznaczenie wartości napięcia dla t = � i porównanie z wyliczonym.
10. Porównanie wartości rzeczywistej indukcyjności z wyznaczoną z pomiarów.
11. Wyznaczanie graficzne wartości stałych czasowych (patrz rysunek 1.1) i porównanie ich
wartości (czy są jednakowe?)
Dodatek do realizacji w zależności od decyzji prowadzącego zajęcia
Zwarcie obwodu RL przy warunku początkowy m niezerowym
Załóżmy, ze dwójnik szeregowy RL jest włączony na napięcie stale jak na rysunku.
1
R
w
2
U
L
Wyłącznik W znajduje się w położeniu nr 1.
U
Przez elementy obwodu płynie prąd stały I =
R
5
Z przepływem prądu przez cewkę o indukcyjności L wiąże się istnienie energii
zmagazynowanej w polu magnetycznym cewki.
2
LI
E =
2
Jeśli prąd nie zmienia się w czasie, to na elemencie indukcyjnym L nie indukuje się napięcie,
a więc napięcie doprowadzone do układu U jest równoważone spadkiem napięcia na
rezystancji U=RI.
W pewnej chwili, którą przyjmiemy jako chwilę t=0, wyłącznik przełączymy z pozycji 1
w pozycję 2. W rezultacie przeprowadzenia tej czynności dwójnik RL został zwarty
i odłączony od z
ródła zasilania.
W obwodzie powstaje stan nieustalony.
Zgodnie z pierwszym prawem komutacji, w chwili t=0 prąd w obwodzie nie może zmienić
się ,,skokiem , a zatem w chwili tuż po komutacji zachowuje
U
wartość i = , którą miał tuż przed komutacją.
R
Jeżeli prąd w chwili komutacji nie zmienia się, to również napięcie na rezystancji nie może
się zmienić i wynosi U. Ponieważ w zwartym obwodzie RL musi być spełnione drugie prawo
Kirchhoffa, zatem w chwili komutacji na elemencie indukcyjnym
di
uL = L
powstaje napięcie przeciwnie skierowane względem napięcia na rezystancji tak,
dt
że suma tych napięć równa się zeru.
di
0 = Ri + L
dt
Równanie to przedstawmy w postaci
di
- Ri = L
dt
Dzieląc obydwie strony równania przez Li i mnożąc przez dt otrzymujemy
di R
= - dt
i L
W wyniku scałkowania obu stron równania otrzymamy
R
ln i = - t + const
L
Przekształcając mamy
R
- t
L
i = Ae
gdzie A to stała całkowania
Stała całkowania A wyznaczymy z warunku początkowego , korzystając z pierwszego prawa
komutacji.
6
U
W chwili t = 0 prąd w obwodzie był równy
R
U
i =
Zatem gdy t=0
R
R
U
- t
L
Podstawimy te zależności do równania i otrzymamy stałą całkowania A =
i = Ae
R
R
- t
U
L
Dla dowolnej chwili t>0 mamy ostatecznie i = e
R
L
� =
Wprowadz
my stałą czasową
R
t
-
U
�
Mamy
i = e
R
Wyznaczmy przebiegi napięć na rezystancji R oraz indukcyjności L.
t t
- -
U
� �
Napięcie na rezystancji
uR = Ri = R e = Ue
R
tt
- -
di U R
�# ś#
� �
Napięcie na indukcyjności uL = L = L - e = -Ue
ś# ź#
dt R L
�# #
Uzyskane wyniki analityczne można zilustrować na wykresie
U
Jak widać prąd w chwili t=0 ma wartość i w miarę upływu czasu,
R
zgodnie z przebiegiem krzywej wykładniczej, asymptotycznie dąży do zera. y
ródłem
przepływu prądu w stanie nieustalonym jest energia zgromadzona w polu magnetycznym
cewki. Energia ta w wyniku przepływu prądu przez rezystancję zamienia się w energię
cieplną. Dlatego, że energia z czasem wyczerpuje się, wszystkie powyżej przedstawione
przebiegi dążą do zera Jak widać z rysunku suma chwilowych wartości napięć na cewce
i rezystancji jest równa zero. Realizacja obliczeń - jak wcześniej.
7