3262347692

Wykłady / ękpnoniolni J nk.i Psim il-kit

Model KMRL jest mimo swych mocnych, nierealistycznych założeń modelem bardzo ważnym. Jego modyfikację polegające na uchyleniu czy uogólnianiu założeń prowadziły do bardziej złożonych i bardziej realistycznych modeli, (aby je zrozumieć, dobrze jest wyjść od KMRL)

Omówiony układ założeń prowadzi do postawienia pytania o P (wektor nieznanych parametrów regresji). Jest on naturalnym przedmiotem zainteresowania, jego elementy określają wielkość i kierunek wpływu (liniowego, ale zakładamy, że tylko on zachodzi - poza tym są tylko „czynniki przypadkowe i drugorzędne”) zmiennych objaśnianych na zmienną objaśniającą; wpływ ten chcemy oszacować, w związku z tym konieczne jest wnioskowanie o wektorze nieznanych stałych parametrów p. Zagadnieniem jest więc estymacja (szacowanie) wektora współczynników regresji p. Podstawowe twierdzenie w tym zakresie to twierdzenie Gaussa i Markowa o estymatorze MNK p ;

1.2.2 Twierdzenie Gaussa i Markowa o estymatorze MNK

Twierdzenie Gaussa i Markowa o estymatorze MNK (metody najmniejszych kwadratów); W KMRL (czyli przy prawdziwości założeń 1 ° - 5°):

Najlepszym estymatorem wektora współczynników regresji P w klasie estymatorów liniowych i nieobciążonych jest estymator MNK dany następującym wzorem: [wersja Profesora: dany prostym wzorem macierzowym:]

P -(X'X)^_,X'y

Macierz kowariancji estymatora MNK dana jest wzorem:

V(P) = g²(X'X)-'_

oznacza transpozycję macierzy}

Dowód tego twierdzenia podany będzie poniżej i poprzedzony zostanie komentarzem odnoszącym się do jego treści i szeregiem kroków przygotowawczych. W tytule i w treści twierdzenia GM występuje pojęcie estymatora. Co to jest estymator?

Estymator definiujemy następująco: jest to dowolna mierzalna funkcja wektora obserwacji której wartości służąjako oceny nieznanej wartości parametru:

P=%)

Funkcja f musi być funkcją mierzalną (to jest określone formalnie, ale trudne {podobno za trudne}) odwzorowującą przestrzeń T-wymiarową (liczba obserwacji) w k-wymiarową (liczba nieznanych stałych -wartości parametrów)

Ustalmy następujące oznaczenia: p to estymator w ogóle (jak powyżej) lub estymator - członek klasy o której akurat mowa; p to zawsze i tylko estymator MNK dany wzorem jak w twierdzeniu GM; z kolei p samo to nieznany parametr który podlega szacowaniu, przy czym p, p i p to wszystko wektory (kolumnowe).

Twierdzenie GM mówi, że estymator MNK p jest najlepszy wśród estymatorów liniowych i nieobciążonych. Co oznaczają te określenia?