3685665577

Rozwiązanie, a) A = (—3)² — 4 • 1 • (3 + i) = 9 — 12 — 4i = — 3 — 4i. Szukamy x, y G R takich, że (x + yi)² — —3 — 4i, czyli (x² — j/²) + 2xyi = —3 — 4i. Stąd x² — y² = —3 oraz 2xy = —4. Zatem xy = —2 oraz x² — y² = —3. Poszukując rozwiązań tego układu równań w liczbach całkowitych bez trudu znajdujemy, że np. x = 1, y = —2. Zatem jednym z pierwiastków kwadratowych z liczby A = —3 — 4i jest 1 — 2i. Stąd z\ = ³~^²^ = 1 + i oraz zi = ³⁺^²^ = 2 — i.

b)    A = (1 + 4i)² + 4(5 + i) = 1 + 8i — 16 + 20 + 4i = 5 -f 12i. Szukamy x, y E R takich, że (x + yi)² = 5 + 12i, czyli (x² — y²) + 2xyi = 5 + 12i. Stąd x² — y² = 5 oraz 2xy = 12. Zatem xy = 6 oraz x² — y² = 5. Poszukując rozwiązań tego układu równań w liczbach całkowitych bez trudu znajdujemy, że np. x = 3, y = 2. Zatem jednym z pierwiastków kwadratowych z liczby A = 5 + 12i jest 3 + 2i. Stąd

— 1—4«—(3+2«)    o o-    —1—4i+(3+2i)    ,

z\ =-₂.₁'    ' = -2 — 3? oraz Z2 =-₂'_x    ' = 1 — *.

_ 2+lli —5?. _    2+6i    _ l+3» _

btąd 21 - 2-(4_3i) - 2-(4—3i) “ 4^3i ~

c)    A = (2 + lii)² + 4(4 - 3i)(5 + i) = 4 + 44i - 121 + 80 + 16i - 60i + 12 = -25. Zatem jednym z pierwiastków kwadratowych z liczby A = —25 jest 5i.

= “WT² = =W“ = -i +1‘    * =

4+3i+32i-24 _ -20+35i _ _4 _|_ 7j

d)    A = 4(1 = i)² - 4 ■ 2i = 4(1 + 2i - 1) - 8i = 0. Zatem z_x = z₂ =    = -1 - i.

e) A = (—5)²—4(4+10i) = 25-16 - 40i = 9-40i. Szukamy x,y e R takich, że (x+yi)² = 9-40i, czyli (x² -y²)+2xyi = 9—40i. Stąd x² — y² = 9 oraz 2xy — -40. Zatem xy = -20 oraz x²—y² = 9. Szukając rozwiązań tego układu równań w liczbach całkowitych bez trudu znajdujemy, że np. x = 5 i y — —4. Zatem jednym z pierwiastków kwadratowych z liczby A = 9 — 40i jest 5 — 4i. Stąd z\ =    = 2i oraz 22 = ⁵⁺⁽2⁵~^4t) =5-2?.

f)    Nasze równanie możemy zapisać w postaci (z — l)² = 2i. Ale 2i — (1 + i)², więc z_x — 1 = 1 + i oraz 22 — 1 = —1 — i. Stąd z\ = 2 + i oraz 22 = —i.

Zadanie 12. Przedstawić w postaci trygonometrycznej (bez pomocy tablic) następujące liczby zespolone:

a) 1, -1, i, -i, b) 1 + i, 1 — i, -1 +i, -1 -i, c) l+ń/3, l-i\/3, -l+iy/3, -1-?V3, d) \/3 + i, VZ-i, -\/3 + », -%/3-i.

Rozwiązanie, a) 1 = 1 • (cosO + isinO), -1 = 1- (cos7r + isin7r), i = 1 ■ (cos § + isin \),

-i = 1 • (cos ^ + isin4f).

b)    |1 + i| = Vl² + l² = V2, 1 + i = y/2 • (^ + i^), więc l+i = V2-(cosf + isinf).

1 — i = \/2 • (cos^ — isin^), więc 1 — i — \/2 • (cos(—J) + isin(—^)) = \f2 ■ (cos^¹ + isin^¹). —1+i = (—1)• (1 — ż) = (cos7r + isin7r)(cos(—j)+isin(—^)) = cos(7r — ^) + isin(7r — j), zatem —1+i = 1 • (cos + isin ^p). — 1 — i = (—1) • (1 + i) = (cos7r + isin7r)(cos j + isin f) = cos(7r + j) + isin(7r + j), czyli — 1 — i = 1 ■ (cos ^p + isin ^p).

c) |1 + i\/3| = Jl² + (y^)² = \/4 = 2, 1 + i\/3 = 2 • (| + i-^), więc cos<j> = ^ oraz sin<t> = skąd można wziąć (j> = więc 1 + i\/3 = 2 • (cos ^ + isin ^). Stąd 1 — i\/3 = 2 • (cos ^ — isin ^) = 2-(cos(—^)+isin(—§)), więc 1—i^3 = 2-(cos(2tt—^)+isin(27r—^)), więc 1—i\/3 = 2-(cos ^+isin ^). Dalej, —l+i\/3= (—1)-(1—i\/3) = (cos7r+isin7r)(cos(—^)+isin(—?)) = cos(7r — ^)+isin(7r—^), czyli —l+i\/3 = 2• (cos Tp+isin ^). Ponadto — 1 —i\/3 = (—l)-(l+i\/3) = (cos7r-|-isin7r)(cos ^+isin f) = cos(77 + |) + isin(7r + |), czyli —1 — iy/3 = 2 • (cos ^ + isin ^).

d)    |\/3 + i| = J(\/3)² + l² = \/4 = 2, \/3 + i = 2- (22^2 + il)_{( w}ię_C cos0 = ^ oraz sin<£ = 5, więc

można wziąć 0 = f • Zatem \/3+i = 2• (cos ^-I-isin ^). Stąd \/3—i = 2-(cos ^ —isin ^) = 2-(cos(—^) + isin(—^)), czyli \/3 — i = 2-(cos(27r — ^)+isin(27r — ^)), skąd ostatecznie \/3—i = 2-(cos    -I-i sin -^=).

Dalej, —\/3-ł-i = (—1)-('/3—i) = (cos7r+isin7r)(cos(—^)+isin(—§)) = cos(7r —^) + isin(7r —^)), czyli —V^3 + i = 2 • (cos -I-isin ^). W końcu — \/3 — i = (—1) • (\/3-I-i) = (cos7r-I-isin7r)(cos | + isin |) = cos(7r+ |) + isin(7r + !)), czyli -\/3 — i = 2 • (cos ^ + isin ^?).

7