426907370

13

Wykład 2

dla t> C (zamieniliśmy w oznaczeniach C na —C). Dla t = C to rozwiązanie przedłuża się do x(C) = 0. Mamy wówczas prawostronną pochodną x(C) = 0. Istnieje także inne rozwiązanie: x(t) = 0. Zatem dla żadnego to € R nie ma jednoznaczności rozwiązań zagadnienia Cauchy’ego z warunkiem początkowym, x(io) = 0.

Dowód twierdzenia Picarda-Lindelofa

Zauważmy, że operator £, zdefiniowany wzorem

£(w)(t) = xo + [ F(u(s))ds Jt₀

przeprowadza przestrzeń C funkcji ciągłych z [i₀, £o + ać], o wartościach w zbiorze {||x — Xo|| < 6} C R^m, takich, że u(t₀) = x₀ w siebie, gdyż

||£(a)(() - Zo|| < j( ||F(s,u(s))||* <M-j^ = b.

Ponadto £ jest kontrakcją. Załóżmy bowiem, że mamy dwie funkcje u(t),v(t) 6 C. Wtedy dla każdego t₀ < t < t₀ + c/:

|j£(«)(t)-£(»)(t)|| = || /V(u(«))-FM»))*||

J to

<    L ( ||«(s) — u(s)||ds

Jto

<    T sup |K»)-«(»)||.

fo<s<to+a'

Przestrzeń C, na której działa £, jest w metryce sup_s ||u(s) — u(s)|| zupełna. Zatem z twierdzenia Banacha o odwzorowaniu zwężającym istnieje dokładnie jeden punkt stały u = C(u). Funkcja u jest rozwiązaniem zagadnienia Cauchy’ego.

□

Uwagi:

1.    Istnienie rozwiązania udowodniliśmy już w Tw. Peano. W dowodzie Tw. Picarda-Lindelofa nowością była jedyność rozwiązania, prawdziwa dzięki lipschitzowskości F.

2.    Warunek a' < ^ < £ jest tylko techniczny. Gdyby So < a (a - stała z twierdzenia Peano)

był ostatnim czasem, takim, że    u(s) = v(s), powyższe twierdzenie zastosowane

dla to = So, dałoby równość u(s) = v(s), także w pewnym przedziale [ó‘o, So+e], co przeczy definicji So-