5755073613

Dodatkowo, aby mogła zachodzić teza Zasady Maksimum Pontriagina, funkcja / oraz zbiór U muszą spełniać poniższe warunki:

Założenia 1 Zbiór fl C 1 x Mⁿ jest otwarty, funkcja f = f(x,t,u) jest ciągła na O. x U oraz różniczkowalna w sposób ciągły wzgłędem x i t. Funkcja jest różniczkowałna w sposób ciągły.

Twierdzenie 2.2.2 [BP, 6.1.1, Zasada Maksimum Pontriagina, ustalony czas końcowy] Niech będą spełnione założenia 1 dla zagadnienia (2.3). Ponadto, niech u* : [0,T] —> U będzie optymalnym sterowaniem dla problemu (2.3) i x* trajektorią odpowiadającą temu sterowaniu. Wówczas istnieje nietrywialny, ciągły wektor wierszowy p(-) taki, że dH, * _t .

p{t) =    ,p,u ,t),

z warunkiem

P(T) = V_x(j>o(x(T,u*)).

Co więcej, jeśli oznaczyć to rozwiązanie przez p*(t) to zachodzi: H(x*,p*,u*,t) = maxH(x* ,p* ,u>,t) dla prawie każdego t £ [0,T].

Dodatkowo w zagadnieniu mogą być zadane więzy

4>i(x(T,u)) = 0 i = l,...,k.    (2.4)

Wtedy Zasadę Maksimum Pontriagina można sformułować następująco:

Twierdzenie 2.2.3 [BP, 6.3.1, Zasada Maksimum Pontriagina z zadanymi więzami]

Niech będą spełnione założenia 1 dla zagadnienia (2.3) z dodatkowym założeniem, iż wszystkie funkcje 4>, dla i — 1,..., k są różniczkowalne w sposób ciągły. Ponadto, niech u* : [0, T] —* U będzie optymalnym sterowaniem dla problemu (2.3) i x* trajektorią odpowiadającą temu sterowaniu.

Dodatkowo zakłada się że wektory V(j>i =    • ■ • §^)> dla i = 1,2,..., n są liniowo

niezależne w punkcie x*(T). Wówczas istnieje nietrywialny, ciągły wektor wierszowy p(-) taki, że

dH, „

p{t) =    ,p,u ,t)

i zachodzi

H{x* ,p,u* ,t) = max H(x* ,p,u),t)

dla prawie każdego t £ [0,T].

Co więcej, istnieją stale Xq,. .. ,Xk, gdzie Aq 5* 0, takie że

(Pi.

14