5755073618

3.1. Istnienie sterowania optymalnego

Sprawdzam założenia twierdzenia 2.2.1.

Zbiór wartości sterowań U jest oczywiście zwarty jako domknięty i ograniczony.

Funkcje fi(t, xi,X2,u) = a ■ X2 — u oraz f2{t,xi,x₂,u) = /3 ■ u — 7 • X2 są ciągłe względem wszystkich zmiennych oraz mają ciągłe pochodne cząstkowe, a zatem są różniczkowalne w sposób ciągły. Czyli jest spełnione założenie 2.

Ponadto fi(t,xi,x₂,u) oraz f₂(t,x\,x₂,u) spełniają ograniczenia z punktu 3 założeń twierdzenia.

Wypukłość zbioru prędkości wynika z liniowości równań fi oraz f₂ względem sterowania u. Funkcja <fi jest postaci x\, więc oczywiście jest ciągła.

Kolejnym założeniem jest istnienie trajektorii x spełniającej warunki początkowe. Niech zatem u = /o, czyli inwestujemy przez cały czas. Wtedy istnieje trajektoria na całym odcinku [0, T] spełniająca warunki początkowe i osiągająca zbiór docelowy S = {T} x R².

Zatem są spełnione wszystkie założenia twierdzenia, stąd istnieje sterowanie optymalne dla zadanego zagadnienia.

3.2. Zastosowanie zasady Maksimum Pontriagina

Tworzę Hamiltonian utworzonego wcześniej układu równań

H(Pi,P2, t, xi, x₂) = pi(a-x₂-u) + p₂(P ■ u - 7 ■ x₂). Korzystam z własności, że p = —^7. Otrzymuję

(3.3)

Wiem również, że

p(T) = V,0(*(T,u)),

stąd w tym zadaniu

Pi = o

Skoro

to pi jest stałe, a ponieważ pi(T) = 1 to

Pi = 1.

18