5755073625

Rozdział 1

Przedstawienie problemu

Wybieram sposób inwestycji tak, by w określonym przedziale czasowym otrzymać maksymalny dochód.

Chcę zmaksymalizować Y(T) - całkowity dochód przedsiębiorstwa w określonym przedziale czasowym [0,T]. Moim sterowaniem jest intensywność inwestowania - u(t). Wartości sterowań należą do pewnego zbioru zwartego U. Zadaniem do rozwiązania jest znalezienie sterowania optymalnego u* dla zasady maksimum sformułowanej w postaci

max<p(x(T,u)).

u£U

W swojej pracy rozważam dwa problemy. Pierwszy problem dotyczy optymalnego inwestowania w celu otrzymania możliwie największej wartości dochodu w końcowym momencie czasu. W drugim zaś wprowadzam dodatkowy warunek na całkowitą wartość inwestycji. W obu przypadkach mam ustalony czas końcowy T.

Wyprowadzam matematyczny model przykładowego przedsiębiorstwa. Rozważam zmienne wpływające na dochód firmy, a następnie analizując zależności pomiędzy nimi, otrzymuję układ liniowych równań różniczkowych, którym posługuję się w dalszej części pracy. Do rozwiązania problemów korzystam z pomocniczej funkcji H(x,p,u,t) — p ■ f(t,x,u), zwanej Hamiltonianem. Posługuję sie również twierdzeniami związanymi z teorią sterowania.

1.1. Wyprowadzenie modelu

Rozważę matematyczny model przedsiębiorstwa z następującymi zmiennymi:

Y(t) - dochód firmy,

C(t) - wielkość wydatków na konsumpcję,

I(t) - tempo (intensywność) inwestycji,

P(t) - tempo produkcji,

G(t) - wielkość innych wydatków,

N(t) - ilość pracowników.

Wszystkie zmienne zależą od czasu t. Zakładam, że t należy do przedziału [0, T}. Poprzez konsumpcję mam na myśli pensje oraz fundusz socjalny, a poprzez inne wydatki wielkość

7