6218157028

(b)    Dwa elementy można ułożyć w koljeności na P2 = 2 • 1 = 2 sposoby.

(c)    Wszystkich studentów z tej grupy (23 osoby) można ustawić w rzędzie na

P23 = 23 • 22 • 21 •... 2 • 1 = 23! = 25 852 016 738 884 976 640 000

sposobów.

□

Wariacje bez powtórzeń

Jeżeli mamy uporządkować tylko r sporód n różnych elementów to nazywamy to wariancją bez powtórzeń. Liczba wariancji bez powtórzeń wyraża się liczbą

_nP_T = n(n - l)(n - 2)... (n - r + 1) = ^U' .

(n r)\

Wzór ten powstaje gdy w procedurze obliczania wszystkich permutacji zatrzymamy się po wybraniu r elementów.

Przykład

Na wyścigach konnych można obstawić tzw. triplę — trzy konie w kolejności miejsc jakie zajma na mecie. Jeżeli w gonitwie występuję 8 koni to triplę można obstawić na sPs = 8 • 7 • 6 = 336 sposobów.    □

Kombinacje

Kombinacja o długości r ze zbioru n elementowego to podzbiór r elementowy zbioru n elementowego. Na przykład kombinacją czteroelementową ze zbioru liter alfabetu łacińskiego jest GLOB.

Aby obliczyć ile jest kombinacji rozpatrzmy zbiór (A, B, C, D} i wszystkie wariacje bez powtórzeń z tego zbioru

ABC    ACB    BAC    BCA    CAB    CBA

ABD    ADB    BAD    BDA    DAB    DBA

ACD    ADC    CAD    CDA    DAC    CDA

BCD    BDC    CBD    CDB    DBC    DCB

Zauważmy, że w każdym rzedzie jest tylko jedna kombinacja (wszystkie mają te same elementy, a w zbiorze - kombinacja jest zbiorem - kolejność elementów jest nieistotna. Zatem mamy tylko 4 kombinacje 3 elementowe w tym zbiorze. Łatwo zauważyć, że tę liczbę otrzymujemy dzieląc liczbę wariancji bez powtórzeń przez liczbę możliwych przestawień, czyli liczbę permutacji. Zatem „ _ n(rt - l)(n - 2)... (n - r + 1) _ n! _ AA 1 • 2 •... • r    (n - r)!r! \ry ’

Przykład

(a) W zbiorze 4 elementowym jest 4C3 = ₍₄_⁴^,_3! =    = 4 kombinacji długości 3.

(b) W brydżu możemy otrzymać jedną z 52C43 =    i_3! = 635013559600 rąk; w pokerze 52C5 = (52-5)!5! ⁼ 2598960.

□