6218157041

(d) Ogólnie, 0 C 6 dla każdej przestrzeni probabilistycznej 6. Zawsze wtedy P(0) = 0.

□

W przykładzie ze studentami obliczyliśmy P(k) = 0,7. Jeżeli m = {mM,mF} jest zdarzeniem „wylosowany został mężczyzna” to P(m) = ^ = 0,3. Zauważmy, że 0,7 4- 0,3 = 1, a więc zdarzenie „wylosowano kobietę lub mężczyznę” jest zdarzeniem pewnym, a zdarzenia „wylosowano mężczyznę” i „wylosowano kobietę” wzajemnie się uzupełniają (w sumie tworzą całą przestrzeń probabilistyczną i nie mają wspólnych elementów). Wtedy P(k) = 0,7 = 1 — 0,3=1 — P(m). Tak jest zawsze.

Niech P(A) będzie prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A i niech A' oznacza zdarzenie: „nie zachodzi zdarzenie A”. Wtedy P(A') = 1 — P{A).

Rozpatrzmy zdarzenie (wracamy do przykładu ze studentami): „wylosowano mężczyznę ze studiów menedżerskich lub kobietę z finansów”, czyli mM U kF = {mM,kF}. P(mM U kF) =    = 0,54.

Porównajmy ten wynik z prawdopodobieństwami zdarzeń mM i kF. Zauważmy, że zdarzenia mM i kF mają następującą własność: jeżeli zajdzie jedno z nich, to na 'pewno nie zajdzie drugie (mówimy, że zdarzenia takie wzajemnie się wykluczają). Mamy: P(mM) = ^ = 0,24 i P(kF) = ^ = 0,3, a wiec

P(mM) + P(kF) = 0,24 + 0,3 = 0,54 = P(mM U kF).

Taka własność zachodzi dla dowolnych wzajemnie wykluczających się zdarzeń: jeżeli A fi B = 0 to P(AU B) = P(A) + P(B).

Można rozszerzyć tę własność na kilka wzajemnie wykluczających się zdarzeń.

Jeżeli zdarzenia A\, A₂,..., A_n wzajemnie wykluczają się, to znaczy, że jeżeli zajdzie jedno z nich to już na pewno nie zajdzie drugie to

P(i4_x U A₂ U ... U An) = P(Ai) + P{A₂) + ... + P{A_n).

Przykład

Obliczamy prawdopodobieństwo tego, że w jednokrotnym rzucie kostką wypadnie parzysta liczba oczek, czyli zdarzenia A = {2,4,6}. Zauważmy, że A = 2 U 4 U 6 i, że zdarzenia „wypadła konkretna liczba oczek” wzajemnie wykluczają się. Zatem

P(A) = P(2 U 4 U 6) = P(2) + P(4) + P(6) = | + | + | = | = |-

□

Jeżeli zdarzenia nie wykluczają się, to prawdopodobieństwo sumy zdarzeń nie jest sumą ich prawdopodobieństw. Na przykład zdarzenie A = „w jednokrotnym rzucie kostką wypadła parzysta liczba oczek” nie wyklucza zdarzenia B = „w jednokrotnym rzucie kostką wypadła liczba mniejsza niż 4”. P(A) = | (patrz przykład wyżej), a

P(_B) = P(lU2U3) = i ₊ i ₊ I = i.

Suma prawdopodobieństw tych zdarzeń jest równa jeden, a nie jest to zdarzenie pewne (może wypaść 5 oczek). Ponieważ A = {2,4,6} i 3 = (1,2,3,4} to obliczając prawdopodobieństwo sumy tych zdarzeń musimy wziąć pod uwagę, że zdarzenie elementarne 2 występuje i w jednym i drugim zdarzeniu, a więc sumując prawdopodobieństwa zdarzeń A i B wliczmy je podwójnie. Zauważmy, że

P(A U ®) = P({2,4,6} U {1.2.3}) ^ P({1,2,3,4,6}) = | = i + 1 - i = P(A) + P(B) - P(2).