6581544268

13. Dwaj gracze targują się o podział sumy 19,99 zł. Pierwszą propozycję podziału składa gracz I. Jeśli gracz II ją odrzuci, to z sumy 19,99 ubywa 6 zł i gracz II składa propozycję podziału mniejszej sumy; jeśli ta z kolei zostanie odrzucona przez gracza I, to gra się kończy i obaj gracze dostają po 5,50 zł, a resztę zabiera arbiter. Przyjęcie którejkolwiek propozycji także kończy grę i wtedy następuje uzgodniony podział. Zakładamy, że legalne są tylko takie propozycje podziału, w których oferent otrzymuje całkowitą liczbę złotówek (czyli np. pierwsza propozycja gracza I musi być postaci: n zł 99 gr dla ciebie, 19 —n zł dla mnie). Gracze nie dyskontują wypłat. Narysować fragment drzewa tej gry z co najmniej jedną gałęzią każdej możliwej długości. Znaleźć jej równowagę doskonałą i podać pełny opis tworzących ją strategii oraz otrzymany podział.

Roziwązanie

Opis drzewa: Zaczyna gracz I, wybiera jedną z 20 propozycji: (0 , 19,99) , ... , (19, 0,99). Każdą z nich II może zaakceptować albo odrzucić. Gdy zaakceptuje (k , 19 — k zł 99 gr), gra kończy się z tymi wypłatami, Gdy odrzuci, składa jedną z 14 kontrpropozycji: (0,99 , 13) , ... , (13,99 , 0). Jeśli I ją przyjmie, gra kończy się z tymi wypłatami; jeśli odrzuci, gra kończy się z wypłatami (5,50 , 5,50). Informacja jest pełna - nie ma nietrywialnych zbiorów informacyjnych.

Oczywiście reprezentatywny fragment drzewa trzeba narysować, najlepiej istotny dla znajdowania równowagi. Trzeba też zaznaczyć akcje wybierane w trakcie indukcji wstecz.

Analiza: Pierwszy etap indukcji wstecz: Jeśli gracz I odrzuci kontrprppozycję gracza II, otrzyma 5,50, a zatem odrzuci (0,99 , 13) , ... , (4,99 , 9) , a przyjmie (5,99,8) , ... , (13,99,0).

Wiedząc to, II spodziewa się, że po odrzuceniu pierwszej propozycji gracza I otrzyma 8 - najwyższą z wypłat po optymalnej reakcji I. Wobec tego pójdzie na tę możliwość - tj. odrzuci propozycję I i sam zaproponuje (5,99 , 8) - jeśli I zaoferuje mu mniej niż 8. Tzn. odrzuci (19 , 0,99) , ... , (12,7,99) , a przyjmie (11, 8,99) , (0 , 19,99). Wiedząc to, I spodziewa się, że po odrzuceniu swej pierwszej propozycji otrzyma 5,99. Złoży więc najlepszą dla siebie ofertę spośród tych, które będą przyjęte i zarażam dadzą mu co najmniej 6. Jest nią oczywiście (11 , 8,99) .

Równowaga doskonała: Gracz I proponuje (11 , 8,99), zgadza się na propozycje II dające mu co najmniej 5,99 i odrzuca pozostałe.

Gracz II przyjmuje propozycje I wtedy i tylko wtedy, gdy proponuje mu się co najmniej 8,99, a po ew. odrzuceniu proponuje podział (5,99 , 8).

Wypłaty w tej rówonowadze: : 11 zł dla I , 8,99 zł dla II.

Przykład równowagi niedoskonałej: Każdy z graczy składa tylko propozycje (1,99 dla ciebie, reszta dla mnie), a przyjmuje tylko takie, w których oferuje mu się co najmniej 9,99 zł.