7090996913

W. Guzicki: Zadania z kombinatoryki 17

•    pierwsza czynność polega na rzuceniu kostką pierwszy raz; ta czynność kończy się jednym z 6 wyników,

•    druga czynność polega na rzuceniu kostką drugi raz; ta czynność, niezależnie od wyniku pierwszej czynności, także kończy się jednym z 6 wyników.

Z reguły mnożenia wynika, że łącznie możemy otrzymać 6 • 6 = 36 wyników.

25.    Rzucamy 5 razy kostką dwudziestościenną, zapisując wyniki w kolejności rzutów. Ile wyników tej postaci możemy uzyskać?

Rozwiązanie. Wykonujemy pięć czynności:

•    pierwsza czynność polega na rzuceniu kostką pierwszy raz; ta czynność kończy się jednym z 20 wyników,

•    druga czynność polega na rzuceniu kostką drugi raz; ta czynność, niezależnie od wyniku pierwszej czynności, kończy się jednym z 20 wyników,

•    trzecia czynność polega na rzuceniu kostką trzeci raz; ta czynność, niezależnie od wyników pierwszej i drugiej czynności, kończy się jednym z 20 wyników,

•    czwarta czynność polega na rzuceniu kostką czwarty raz; ta czynność, niezależnie od wyników pierwszych trzech czynności, kończy się jednym z 20 wyników,

•    piąta czynność polega na rzuceniu kostką piąty raz; ta czynność, niezależnie od wyniku pierwszych czterech czynności, także kończy się jednym z 20 wyników.

Z reguły mnożenia wynika, że łącznie możemy otrzymać 20 • 20 • 20 • 20 • 20 = 20⁵ = 3200000 wyników.

26.    Dana jest liczba naturalna m > 1. Definiujemy zbiór A w następujący sposób:

•    zbiór A składa się z par (a,b) takich, że 1 <a,b<m (czyli, inaczej mówiąc, a,b 6 [m]). Udowodnij, że |.A| = m².

Rozwiązanie. Wykonujemy dwie czynności:

•    pierwsza czynność polega na wybraniu pierwszej liczby ze zbioru [m]; ta czynność kończy się jednym z m wyników,

•    druga czynność polega na wybraniu drugiej liczby ze zbioru [m]; ta czynność, niezależnie od wyniku pierwszej czynności, także kończy się jednym z m wyników, gdyż za drugim razem możemy ponownie wybrać dowolną liczbę, nawet jeśli ją już wybraliśmy za pierwszym razem.

Z reguły mnożenia wynika, że łącznie możemy otrzymać m • m = m² wyników.

27.    Dana jest liczba naturalna m > 1. Definiujemy zbiór A w następujący sposób:

•    zbiór A składa się z trójek (a,b, c) takich, że 1 < a,b,c <m (czyli, inaczej mówiąc, a,b,c € [m]). Udowodnij, że |ył| = m³.

Rozwiązanie. Wykonujemy trzy czynności:

•    pierwsza czynność polega na wybraniu pierwszej liczby ze zbioru [m]; ta czynność kończy się jednym z m wyników,

•    druga czynność polega na wybraniu drugiej liczby ze zbioru [m]; ta czynność, niezależnie od wyniku pierwszej czynności, także kończy się jednym z m wyników, gdyż za drugim razem możemy ponownie wybrać dowolną liczbę, nawet jeśli ją już wybraliśmy za pierwszym razem,

•    trzecia czynność polega na wybraniu trzeciej liczby ze zbioru [m]; ta czynność, niezależnie od wyniku pierwszych dwóch czynności, także kończy się jednym z m wyników, gdyż za trzecim razem możemy ponownie wybrać dowolną liczbę, nawet jeśli ją już wybraliśmy za pierwszym lub za drugim razem.

Z reguły mnożenia wynika, że łącznie możemy otrzymać m ■ m ■ m = m³ wyników.

28.    Dane są liczby naturalne n i m (takie, że n,m> 1). Definiujemy zbiór A w następujący sposób:

•    zbiór A składa się z ciągów (ai,..., a„) takich, żel<oi,...,o„<m (czyli, inaczej mówiąc, ai,...,a„ € [m]).

Udowodnij, że |.4| = m".

Rozwiązanie. Wykonujemy n czynności:

•    pierwsza czynność polega na wybraniu pierwszej liczby ze zbioru [m]; ta czynność kończy się jednym z m wyników,

Warszawa, 19-20 października 2013 r.