& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & .. Warszawa, 28 listopada 2012
Imię i Nazwisko (drukowane litery ) Grupa dziekańska
MENUM W / A / 2012
Uwagi:
1. Czas: 45 min.
2. Punkty: do 10 punktów za dobrą i wyczerpującą odpowiedz
na każde pytanie.
3. Praca samodzielna (bez komunikowania się bezpośredniego lub pośredniego z osobami w sali i poza salą).
_________________________________
Pyt 1. Zdefiniuj pojęcie interpolacja funkcji. Wyznacz wielomian interpolacyjny Lagrange a dla
funkcji określonej tablicą
x 0 2 3 5 6
f(x) 1 3 2 5 6
Pyt 2. Omów różnice pomiędzy metodami LU oraz Gaussa-Seidla rozwiązywania układów równań
liniowych.
Pyt. 3. Omów pojęcie i metody aproksymacji średniokwadratowej.
Pyt. 4. Porównaj metodę bisekcji oraz metodę stycznych rozwiązywania równań nieliniowych.
Używając metody bisekcji wyznacz rozwiązanie równania x3 - x2  x  1 = 0 należące do przedziału
[0,2] z dokładnością do 1/8.
b
Pyt. 5. Podaj ogólny wzór przybliżonego obliczania całek oznaczonych p(x) f (x)dx w przedziale
òð
a
skończonym [a,b]. Omów kwadraturę Gaussa. Stosując metodę trapezów wyznacz przybliżoną
1
3
wartość caÅ‚ki +ð1)dx.
òð(x
0
Pyt. 6. Omów niejawny schemat Eulera rozwiązywania zagadnienia początkowego y = f(t, y(t)),
y(0)=y0 gdzie t Îð [0, t0], funkcja f, staÅ‚e y0 oraz t0 sÄ… zadane. y oznacza pochodnÄ… funkcji y wzglÄ™dem
zmiennej t.
StosujÄ…c dyskretyzacjÄ™ z krokiem 0,5 wykonaj dwa kroki jawnÄ… metodÄ… Eulera wyznaczajÄ…c
przybliżone wartości funkcji y spełniającej równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego:
y = 3y, y(0) = 2.
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & .. Warszawa, 28 listopada 2012
Imię i Nazwisko (drukowane litery ) Grupa dziekańska
MENUM W / B / 2012
Uwagi:
4. Czas: 45 min.
5. Punkty: do 10 punktów za dobrą i wyczerpującą odpowiedz
na każde pytanie.
6. Praca samodzielna (bez komunikowania się bezpośredniego lub pośredniego z osobami w sali i poza salą).
_________________________________
Pyt 1. Porównaj interpolację funkcji wielomianami Lagrange a oraz wielomianami Newtona. Mając
dane wartości funkcji y=f(x) w trzech punktach y(0)=1, y(1)=1, y(2)=3 wyznacz wielomian stopnia
drugiego W dla którego W(0)=1, W(1)=1, W(2)=3.
Pyt 2. Stosując metodę eliminacji Gaussa wyznacz numerycznie rozwiązanie układu równań
liniowych:
2x1 + 3 x2 + x3 = 6
x1  x2- x3 = -1
x1 + 3x2  x3 = 3
Pyt. 3. Wyznacz wielomian aproksymujący stopnia pierwszego dla funkcji określonej następująco:
x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
f(x) 2,9 2,8 2,7 2,3 2,1 2,1 1,7
Pyt. 4. Porównaj metodę reguła falsi oraz metodę siecznych rozwiązywania równań nieliniowych.
Używając metody bisekcji wyznacz rozwiązanie równania x3  3x + 1 = 0 należące do przedziału [0,1]
z dokładnością do 1/8.
Pyt. 5. Co oznacza pojęcie kwadratura? Omów kwadraturę Newtona-Cotesa. Stosując metodę
pð
prostokÄ…tów wyznacz przybliżonÄ… wartość caÅ‚ki x +ð 2x)dx .
òð(sin
0
Pyt. 6. Omów metodę Rungego-Kutty rozwiązywania zagadnienia początkowego y = f(t, y(t)),
y(0)=y0, gdzie t Îð [0, t0], funkcja f, staÅ‚e y0 oraz t0 sÄ… zadane. y oznacza pochodnÄ… funkcji y wzglÄ™dem
zmiennej t.
Stosując dyskretyzację z krokiem 1 wykonaj dwa kroki jawną metodą Eulera wyznaczając przybliżone
wartości funkcji y spełniającej równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego:
y = 5y + t2, y(0) = 1.