Arkusz 01: Charakterystyki przekrojowe. Arkusz przeznaczony do ćwiczeń z przedmiotu  Podstawy wytrzymałości materiałów na II roku dziennych
studiów Wydziału Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku  IMIM w roku akademickim 2014/2015.
Notatki do ćwiczeń z przedmiotu  Podstawy wytrzymałości materiałów
Notatki do ćwiczeń z przedmiotu  Podstawy wytrzymałości materiałów
Arkusz 01: Charakterystyki przekrojowe
Arkusz 01: Charakterystyki przekrojowe
1. Definicje, twierdzenia, wzory
Podstawy teoretyczne związane z charakterystykami geometrycznymi należy opanować na podstawie pierwszych
ćwiczeń oraz dostępnej literatury. Zwracam uwagę na to, że w książkach oznaczenia i indeksy mogą być inne niż przyjęte
na ćwiczeniach. Na ćwiczeniach oś pozioma ma indeks y, zaś pionowa z.
" Pojęcia, które należy znać: moment statyczny, moment bezwładności, moment dewiacji, biegunowy
moment bezwładności, promień bezwładności.
" Obliczanie współrzędnych środka ciężkości figury.
" Własności osi symetrii figury.
" Twierdzenie Steinera.
" Wzory na momenty bezwładności i dewiacji dla prostych figur geometrycznych (prostokąt, trójkąt,
ćwiartka koła, koło) w osiach stycznych i centralnych.
y
ródła: notatki z ćwiczeń, [1], [3].
2. Charakterystyki geometryczne przekrojów symetrycznych
Przykład stanowią zadania rozwiązane na ćwiczeniach.
Płynne obliczanie charakterystyk geometrycznych przekrojów symetrycznych złożonych z podstawowych
figur prostych. Zastosowanie w praktyce tw. Steinera.
Jako poszerzające wiedzę z ćwiczeń można rozwiązać zadania: 7.2 / str. 80 i 7.7 / str 82 z książki [2].
© Copyright: Anna StrÄ™k. Autorem arkusza jest Anna StrÄ™k. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego okreÅ›lonego w Ustawie o prawie
autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z póz
n. zmianami). Autor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie arkusza niż
podane w jego przeznaczeniu. 1
Arkusz 01: Charakterystyki przekrojowe. Arkusz przeznaczony do ćwiczeń z przedmiotu  Podstawy wytrzymałości materiałów na II roku dziennych
studiów Wydziału Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku  IMIM w roku akademickim 2014/2015.
3. Charakterystyki geometryczne przekrojów niesymetrycznych
Zadanie 1
Dla zadanego kątownika obliczyć jego główne centralne momenty bezwładności
Przed przystąpieniem do obliczeń, wybrany zostaje podstawowy układ odniesienia yz. Następnie należy przyjąć podział
na figury proste: duży prostokąt o bokach 4 i 5 cm, oraz mały prostokąt o bokach 2,5 oraz 4 cm, który będzie
odejmowany od prostokąta dużego, w ten sposób uzyskując kształt kątownika.
(1) Moment statyczny
1 1
S = (4Å"5)Å" Å"5 (2,5Å"4)Å" Å"4 = 50 20 = 30 cm3
y
( ) ( )
[ ] [ ]
2 2
1Å"4 1Å"2,5 = 50 20 = 30 cm3
S = (4Å"5)Å" (2,5Å"4)Å"
z
( ) ( )
[ ] [ ]
2 2
(2) Położenie środka ciężkości
S S
z y
yc= = 2,75 cm
zc= = 3cm
4Å"5 2,5Å"4
4Å"5 2,5Å"4
(3) Centralne momenty bezwładności
Aby obliczyć centralny moment bezwładności, należy zauważyć, że żaden z boków przyjętych figur nie jest styczny do
tych osi, ani też ich środki ciężkości nie leżą na osiach centralnych całego układu. W związku z tym, należy skorzystać z
twierdzenia Steinera. Można to zrobić na dwa sposoby. Albo  przenosić się ze środka ciężkości każdej małej figury (tutaj:
dwóch prostokątów) osobno do punktu C (rozw. a); albo najpierw obliczyć moment bezwładności całej figury w osiach
zewnętrznych (tutaj: yz) i dopiero potem całość  przenieść do C (rozw. b).
2 2
a)
4Å"53+ 1Å"5 2,5Å"43 + 1Å"4
I = (4Å"5)Å" 3 (2,5Å"4)Å" 3 = 23,34 cm4
yC
( ) ( )
[ ] [ ]
12 2 12 2
2 2
5Å"43+ 1Å"4 4Å"2,53 + 1Å"2,5
I = (4Å"5)Å" 2,75 (2,5Å"4)Å" 2,75 = 10,21 cm4
zC
( ) ( )
[ ] [ ]
12 2 12 2
1 1 1 1
I = 0+ ( 4Å"5)Å" Å"5 3 Å" Å"4 2,75 0+ (2,5Å"4)Å" Å"4 3 Å" Å"2,5 2,75 = 7,5cm4
yC zC
( )( ) ( )( )
[ ] [ ]
2 2 2 2
4Å"53 2,5Å"43 2
b) stÄ…d:
I = I AÅ"zC = 113,34 10Å"32 = 23,34cm4
I = = 113,34 cm4
yC y
y
[ ] [ ]
3 3
5Å"43 4Å"2,53
stÄ…d:
I = = 85,84cm4 I = I AÅ"y2 = 85,84 10Å"2,752 = 10,21cm4
zC z C
z
[ ] [ ]
3 3
42Å"52 2,52Å"42
stÄ…d:
I = = 75,00 cm4 I = I AÅ"yCÅ"zC = 75 10Å"2,75Å"32 = 7,5 cm4
yz yC zC yz
[ ] [ ]
4 4
(4) Główne centralne momenty i osie bezwładności
2
2
I + I I Iz I + I I I
yC zC yC C oraz yC zC yC zC 2
I = + + I2 zC = 26,75 cm4 I = + I = 6,81 cm4
1 yC 2 yC zC
( ) ( )
2 2 2 2
" "
Kierunki głównych centralnych osi bezwładności:
I I
yC 1
Ć1 = arctan = 24 deg Ć = Ć1+ 90 deg = 114 deg
2
( I )
yC zC
© Copyright: Anna StrÄ™k. Autorem arkusza jest Anna StrÄ™k. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego okreÅ›lonego w Ustawie o prawie
autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z póz
n. zmianami). Autor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie arkusza niż
podane w jego przeznaczeniu. 2
Arkusz 01: Charakterystyki przekrojowe. Arkusz przeznaczony do ćwiczeń z przedmiotu  Podstawy wytrzymałości materiałów na II roku dziennych
studiów Wydziału Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku  IMIM w roku akademickim 2014/2015.
Płynne obliczanie charakterystyk geometrycznych przekrojów niesymetrycznych złożonych z podstawowych
figur prostych. Zastosowanie w praktyce tw. Steinera. Obliczanie położenia głównych centralnych osi
bezwładności.
Jako poszerzające wiedzę można rozwiązać zadania: 7.11 / str. 84 i 7.12 / str 86 z książki [2] oraz zadanie
2.3.1 / str. 17 z książki [1].
4. Charakterystyki geometryczne przekrojów z kształtowników
W pracy projektowej często używa się przekrojów stalowych typowych. Przekroje takie, wykonywane przez huty jako
wyroby o stypizowanych wymiarach, mają stablicowane wielkości charakterystyk geometrycznych (np. [4]).
Zadanie 2
Zadanie, które należy przygotować na ćwiczenia to zadanie: 2.3.2 / str. 19 z książki [1]
" Płynne obliczanie charakterystyk geometrycznych przekrojów z kształtowników.
" Umiejętność korzystania z tablic.
5. Literatura
[1] Bodnar A.  Wytrzymałość materiałów. Podręcznik dla studentów wyższych szkół technicznych , wydanie drugie
poszerzone i poprawione, Kraków 2004
[2] Niezgodziński M., Niezgodziński T. "Zadania z wytrzymałości materiałów", Wydawnictwo WNT, Warszawa 2012
[3] Bąk R., Burczyński T. "Wytrzymałość materiałów z elementami ujęcia komputerowego", Wydawnictwo WNT,
Warszawa 2001
[4] Bogucki W., Żyburtowicz M.  Tablice do projektowania konstrukcji metalowych , wyd. Arkady
[5] Programy komputerowe do obliczania charakterystyk geometrycznych przekrojów.
© Copyright: Anna StrÄ™k. Autorem arkusza jest Anna StrÄ™k. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego okreÅ›lonego w Ustawie o prawie
autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z póz
n. zmianami). Autor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie arkusza niż
podane w jego przeznaczeniu. 3