OBLICZANIE CHARAKTERYSTYK GEOMETRYCZNYCH
PRZEKROJÓW
Do podstawowych wielkości tworzących pakiet danych zwany  charakterystyką
geometryczną przekroju należy:
- pole przekroju A
- położenie środka ciężkości y (lub x w płaszczyz
nie prostopadłej)
- moment bezwładności Jx lub Jy
Pozostałe wielkości (wskaz
nik wytrzymałości, moment statyczny, promień bezwładności) są
wielkościami które można wyznaczyć z podstawowych.
Bryły elementarne:
x
h b ×h3
A = b ×h y =
Jy =
b
2
12
b h b ×h3
A = × h y =
Jy =
b
2 3
48
r d2 d r4 d4
y = r =
A = Ä„ × r2 = Ä„ Jy = Ä„ = Ä„
2
4 4 64
" PRZEKROJE ZA
OŻONE ( z wielu brył)
Pole przekroju:
dc b2
A = = Ac + Aw + At
i
"A
Ac h2
dw
Moment statyczny:
dt Aw
h
Obliczany względem dolnej krawędzi
hw
bw
yc
Sy = yi = Atyt + Awyw + Acyc
yw
i
"A
At h1
lub obliczany względem górnej krawędzi:
Sd = di = Atdt + Awdw + Acdc
b1
i
"A
yt
Położenie środka ciężkości:
Sy
- względem dolnej krawędzi: y =
A
Sd
- względem górnej krawędzi: d = Ważne! y + d = h
A
Moment bezwładności: J = + (y - yi)2 , lub: J = + (d - di)2
i i i i
"J "A "J "A
(oba wzory muszą dać taki sam wynik!)
y
h
h
d
" PRZEKROJE SPROWADZONE (złożone z brył z wielu materiałów)
W rozpatrywanym przekroju występują elementy wzajemnie związane (zespolone)
Cechy różnych materiałów należy sprowadzić do podstawowego (zazwyczaj: beton). Stosuje
się współczynnik materiałowy ą, obliczony ze wzoru:
Moduł sprężystości i-tego materiału
Acn
dcn
(np.: stali, nadbetonu)
ds2
As2
Ei
Ä…i =
dc
Epodst
ds1
Moduł sprężystości materiału
dp
podstawowego (betonu)
Ap
As1
Pole przekroju:
Acp = Ac + Ai
"Ä…i
Elementy  wypierające materiał
podstawowy (beton): Ä… i  1
(np.: stal, cięgna)
Acp = Ac + (Ä…s - 1) + (Ä…p -1) +Ä…cnAcn
si pi
"A "A
Przekrój podstawowy
Element  dodany do przekroju
(betonowy)
Acn
dcn
ds2
As2
Moment statyczny przekroju:
dc
względem górnej krawędzi:
ds1
Scp = Aidi
"Ä…i dp
d
Ap
Dla materiału podstawowego (betonu) ą i = 1
As1
Dla elementów  wypierających materiał podstawowy
(beton): ą i -1 (np.: stal, cięgna)
Dla nadbetonu dcn ze znakiem  -
Moment bezwładności:
Jcp = J + Ac(dcp - d)2 + Ji + Ai(dcp - di)2
"Ä… "Ä…
i i
Dla zbrojenia (stali i cięgien) własne momenty bezwładności Ji można pominąć
Dla elementów  wypierających materiał podstawowy (beton): ą i-1 (np.: stal, cięgna)
Dla tego samego przekroju, w różnych sytuacjach obliczeniowych, mogą występować różnice
w budowie (np.: brak przyczepności kabli do ścianek kanałów kablowych, brak nadbetonu).
Należy to uwzględnić przy obliczaniu i wykorzystaniu charakterystyk geometrycznych w
stosowanych wzorach.
Bez szkody dla dokładności obliczeń można uprościć kształt przekroju:
Przykład
Obliczyć charakterystyki zadanego przekroju kablobetonowego w poszczególnych fazach
Beton prefabrykatu C40/50 Ecm = 35 GPa
(materiał podstawowy)
45
17
Beton zespalajÄ…cy C25/30 Ecm,n = 31 GPa
Zbrojenie sprężające 4 kable "12,7 mm,
13
Ep = 190 GPa; Ap1 = 100 mm2
średnica zewnętrzna kanału: d" = 16 mm
Zbrojenie uzupełniające (miękkie) 8#8 mm
8
Es = 200 GPa, A1 = 0,50 cm2
Obliczenie współczynników ą:
200
- dla stali zbrojeniowej: Ä…s = = 5,71
35
190
- dla stali sprężającej: ąp = = 5,43
35
35
31
- dla nadbetonu zespalajÄ…cego: Ä…c,n = = 0,89
35
Faza 1 sprężenie prefabrykatu.
Przekrój tworzą: beton prefabrykatu i zbrojenie uzupełniające (cięgna sprężające nie są
 zespolone z przekrojem), odejmujemy powierzchnie kanałów kablowych
Pole przekroju:
Acs0 = Ac0 - A" + (Ä…s - 1)
1
"A
45 - 8 35 - 8
Ac0 = 45 ×12 + 2ëÅ‚ 4öÅ‚ + 8 × (29 + 4 + 10) + 2ëÅ‚ 10öÅ‚ + 35 ×15 = 1827 cm2
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
1,62
A" = 4 × Ä„ = 8 cm2;
1
"A = As = 8 × 0,5 = 4 cm2
4
Acs0 = 1827 - 8 + (5,71- 1)4 = 1838cm2
Moment statyczny (względem dolnej krawędzi):
Scs0,y = Sc0 - S" + (Ä…s - 1)Ss
12 45 - 8 4 29 + 4 + 10
öÅ‚ öÅ‚
Sc0 = 45 ×12ëÅ‚70 - ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚
+ 2ëÅ‚ 4öÅ‚ëÅ‚70 - 12 - ÷Å‚
+ (29 + 4 + 10)8ëÅ‚ + 15 + 10öÅ‚ +
ìÅ‚
2 2 3 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
35 - 8 10 15
2ëÅ‚ 10öÅ‚ëÅ‚ + 15öÅ‚ + 35 ×15 ×
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚
2 3 2
íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚
Sc0 = 67830cm3
3 × 8 + 16 3 × 8 + 16
S" = A" = 8 = 80 cm3
4 4
As
Ss = [(70 - 3) + (70 - 3 - 8) + (10 + 3) + 3]= 1,0[67 + 59 + 13 + 3]= 142cm3
4
Scs0,y = 67830 - 80 + (5,71- 1)142 = 68419cm3
Scs0,y 68149
Środek ciężkości względem dolnej krawędzi: ycs,0 = = = 37,08cm
Acs,0 1838
3
8
4
12
70
10
29
15
8
8
3
10
Środek ciężkości względem górnej krawędzi: dcs,0 = h - ycs,0 = 70 - 37,07 = 32,92 cm
Moment bezwładności przekroju:
2
Jcs,0 = Jc,0 - J" - A""y2 + (Ä…s - 1)As"ys
"
wielkości pomocnicze:
S" 80 Ss 142
y" = = = 10 cm; ys = = = 35,5 cm
A" 8 As 4
Jc,0 =
c,i c,1
"[J + Ac,i"y2 ]
2
45 ×123 12
Jc,1 = + 45 ×12ëÅ‚70 - - 37,08öÅ‚ = 397811 cm4
ìÅ‚ ÷Å‚
12 2
íÅ‚ Å‚Å‚
2
(45 - 8) × 43 4 4
ëÅ‚70
Jc,2 = + (45 - 8) - 12 - - 37,08öÅ‚ = 28439 cm4
ìÅ‚ ÷Å‚
48 2 3
íÅ‚ Å‚Å‚
2
8 × (29 + 4 + 10)3 29 + 4 + 10
Jc,3 = + 8(29 + 4 + 10)ëÅ‚15 + 10 + - 37,08öÅ‚ = 83530 cm4
ìÅ‚ ÷Å‚
12 2
íÅ‚ Å‚Å‚
2
(35 - 8) ×103 10 10
ëÅ‚15 + - 37,08öÅ‚ =
Jc,4 = + (35 - 8) 48007 cm4
ìÅ‚ ÷Å‚
48 2 3
íÅ‚ Å‚Å‚
2
35 ×153 15
Jc,5 = + 35 ×15ëÅ‚ - 37,08öÅ‚ = 469206 cm4
ìÅ‚ ÷Å‚
12 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Jc,0 = 397811+ 28439 + 83530 + 48007 + 469206 = 1026992 cm4
1,64
Jcs,0 = 1026992- 4 × Ä„ - 8(10 - 37,08)2 + (5,71- 1)4(35,5 - 37,08)2 = 1021171 cm4
64
Faza 2 Wypełnienie iniekcją kanałów kablowych (zespolenie cięgien z przekrojem)
Pole przekroju:
Acs,II = Acs,0 + A" + (Ä…p - 1) = 1838 + 8 + (5,43 -1)4 ×1,0 = 1864cm2
p
"A
Moment statyczny (względem dolnej krawędzi):
3 × 8 + 16 3 × 8 + 16
ScsII,y = Scs,0 + S" + (Ä…p - 1)Sp Sp = Ap = 4 = 40 cm3
4 4
ScsII,y = 68419 + 80 + (5,43 - 1)40 = 68517cm3
ScsII,y 68517
Środek ciężkości względem dolnej krawędzi: ycs,II = = = 36,76 cm
Acs,II 1864
Środek ciężkości względem górnej krawędzi: dcs,II = h - ycs,II = 70 - 36,76 = 33,24 cm
Moment bezwładności przekroju:
2 2 2
Jcs,II = Jcs,0 + Acs,0"y0 + J" + A""y" + (Ä…p -1)Ap"yp ; yp = y"
1,64
Jcs,II = 1021171+ 1838(37,08 - 36,76)2 + 4Ä„ + 8(10 - 36,76)2 + (5,43 - 1)4(10 - 36,76)2
64
Jcs,II = 1039779cm4
Faza 3 Wykonanie betonu zespalajÄ…cego
Pole przekroju:
17 - 13
ëÅ‚13
Acs,z = Acs,II + Ä…c,nAc,n = 1864 + 0,89 × × 30 + 30öÅ‚ = 2264cm2
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
17 - 13
Ac,n = 13 × 30 + 30 = 450cm2
2
Acs,z = 1864 + 0,89 × 450 = 2264cm2
Moment statyczny (względem dolnej krawędzi):
Scsz,y = ScsII,y + Ä…c,nSc,n ;
30 17 - 13 2 × 30
öÅ‚ ëÅ‚70 + öÅ‚
Sc,n = 30 ×13ëÅ‚70 + + 30 = 38550 cm3
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 3
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Scsz,y = 68517 + 0,89 × 38550 = 100410 cm3
Scsz,y 100410
Środek ciężkości względem dolnej krawędzi: ycs,z = = = 44,35cm
Acs,z 2264
Środek ciężkości względem górnej krawędzi: dcs,z = h - ycs,z = 70 - 44,35 = 25,65cm
Moment bezwładności przekroju:
2 2
Jcs,z = Jcs,II + Acs,II"yII + Ä…c,n(Jc,n + Ac,n"yc,n);
wielkości pomocnicze:
Sc,n
38550
yc,n = = = 85,67 cm yc,n0 = yc,n - h = 85,67 - 70,00 = 15,67 cm
Ac,n 450
2 2
13 × 303 30 (17 - 13)303 (17 - 13) 2 × 30
Jc,n = + 13 × 30ëÅ‚ - 15,67öÅ‚ + + 30ëÅ‚ - 15,67öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
12 2 48 2 3
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Jc,n = 31675cm4
Jcs,z = 1039779 + 1864(44,35 - 36,76)2 + 0,89[31675 + 450(44,35 - 85,67)2]
Jcs,z = 1859142cm4