8416072467

Zgodnie z definicją funkcji F(t, z), mamy

_dⁿ+i

dtⁿ⁺¹

F(t,x) = /⁽ⁿ⁺¹⁾(£(*)) - K(x)(n + 1)! = 0,

gdyż u/ⁿ⁺¹⁾(i) = (n + 1)!.

Stąd, gdy x ^ Xj j = 0,1, • • ■, n

K(x) =

f(x)-P_n(x) /<"⁺¹>(£M) u;(:r)    (n + 1)!

lub inaczej

(n + l)!

Wzór ten pozostaje prawdziwy, również gdy x = Xj j = 0,1, • • •, n. □

Wnioski

1.    Z twierdzenia 1.5 wynika, że jeśli / £ Cⁿ⁺¹([a, 6]), to dla błędu interpolacji Lagrange’a mamy następujące oszacowanie w normie w normie ”sup” na przedziale [a, 6]:

(1.10).    ||/ - PnlkM <

We wzorze tym błąd interpolacji jest szacowany z góry przez wyrażenie zależne od normy ”sup” n + 1-szej pochodnej funkcji /.

2.    Zadanie 1.5 Udowodnić, że jeśli

a = xq < Xi < X2 < • • • < x_n = 6,

to

(l.n)

IMIco.m <

n\hⁿ⁺¹

4

gdzie h = maxj(xj₊i — Xj).

Wskazówka. Zastosować indukcję względem n.

10