8416072484

Tablica różnic dzielonych.

Kolejne różnice dzielone otrzymamy wypełniając poniższą tablicę różnic dzielonych. (Tablica dla n = 4.)

^x0	/[*ol	/[*0> ^xll
xi	/[*l]	/[* i,*a]		/[*()• *1> *2 • *3]
^x2	/l*2]		/[*1*«2.*3]	/[®0.1 *1 > *2 * *31 *4l
				f[xi,x2,x3,x4]
^x3	/[*3l	/[*3.» 4l	f[*2’^x3’^x41
^x4	fl^x 4)

Tablicę tworzymy posługując się definicją rekurencyjną różnic dzielonych.

Zauważmy, że dla wyznaczenia wielomianu interpolacyjnego La-grange’a w postaci Newtona potrzebujemy tylko górnej diagonali tablicy.

Zadanie 1.3 Napisz program obliczający wartość w zadanym punkcie x wielomianu interpolacyjnego Lagrange’a, stosując wzór (1.6) i tablicę różnic dzielonych.

Zadanie 1.4 Różnice dzielone nie zależą od porządku argumentów. Wyciągnij z tego wnioski dotyczące wzoru (1.6) i tablicy różnic dzielonych.

Oszacowanie błędu dla wielomianu interpolacyjnego Lagrange’a.

Niech P_n będzie wielomianem interpolacyjnym Lagrange’a dla funkcji / : [a, b] -» R, o węzłach

a < Xq < X\ < X2 < • • • < x_n < b.

Twierdzenie 1.4 Jeśli f G Cⁿ⁺¹([a, 6]), to dla każdego x G [a,b\, w przedziale otwartym

(min{£, xq, ■ ■ •, x_n}, max{x, xo, - • •, a;_n}) istnieje punkt Ę,(x), taki że

f{x) - P_n(x) =

/"⁺¹(ew)

(n + 1)!

w(x),

gdzie uj(x) = (x — xo)(x — x\) • - ■ (x — x_n).

8