8839840530

Kolokwium No. 6,    18.1’97    Do zrobienia (1 V 2) A 3 A 4 A (5 V 6), czyli 4 zadania spośród 6

1. Niech u := x dy + y dz + z dx £ ^^:(R³). Udowodnić, że jeśli / £ #°(R³) spełnia warunek d(f ■ u) = 0, to / = 0.

2. Niech u :=    +% ^+z— (~_Xz dy Adz — yzdz A dx + (x² + y²)dx A dy) £ #²(Ć?), gdzie O := {(*, y,z) : x > 0}.

(a) Wyrazić w we współrzędnych sferycznych r, fl, ip\ (b) sprawdzić, że du = 0 oraz znaleźć formę 9 £ #¹(0), taką że d6 = w; (c) wyrazić formę 6 we współrzędnych kartezjaóskich x, y, z.

3.

Obliczyć / w, torusa, zaś u> := z

gdzie ć> := {(x,y,z) : x,y ^ 0

2/_d%Adz__ , __dzAdx_₌\ A/(^a?-⁴)²+-^s3 ^'

(\/x² + y² — 4)² + z² = 9}, t jest orientacją “na zewnątrz”

Wskazówka. Zastosować twierdzenie Stokesa.

4. Obliczyć:

cos y dy>

1 — 2 p cos <p + p²

dla p £ ]-l, 1[;

x²cos xdx x⁴ + 5a:² + 4

00    H

0-nZⁿ funkcji /(z) :=    — w pierścieniu

n = — oo

5.    Wyrazić przez całki konturowe współczynniki a_n szeregu Laurenta 7r < \z\ < 27T. Obliczyć wartości a_n dla n ^ 1.

r¹    dx

6.    Obliczyć dla a > 0 całkę I(a) := /    -

J-x (a:² + a²)v1 —z²