9414912331

Sl + 5X2 - X3 = 7 31! + 4x2 - 2x₃ = 11 6xi + 2x₂ + 2x₃ = 22

I ¹ 5 -i I

Rozwiązanie. Ponieważ 3 4 - 2 = -60 ^ 0, więc można stosować metodę eliminacji. Mnożymy | 6 2 2 |

kolejno pierwsze równanie przez (-3) oraz przez (-6) i dodajemy odpowiednio do drugiego i trzeciego równania. Otrzymujemy układ:

xi + 5x₂ - x₃ =    7

-    llx₂ + x₃ = -10

—    28x₂ + 8x₃ = —20

- — dodajemy do trzeciego równania. W rezultacie

Teraz mnożymy drugie równanie przez otrzymujemy układ

- 5x2 -    x₃ =    7

■ llx₂ -(-    X₃ = -10

C

Rozwiązaniem tego układu jest trójka liczb: x₃ = 1, x₂ = 1, xi = 3.

| Układ m równań liniowych z w niewiadomymi

Definicja. Macierz A_u powstałą z macierzy A przez dopisanie kolumny B jako ostatniej kolumny macierzy, tzn.

Oli • • ■ Uln

O21    ...    02r»    62

^aml - - - ®mn

nazywamy macierzą rozszerzoną układu liniowego.

Komentarz. Zauważmy, że R(A) $ R(Ą,).

Tw. (Kroneckera-Capellego). Układ m równań liniowych z n niewiadomymi o macierzy współczynników A i macierzy rozszerzonej A_u ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy R(A) = R(Ą,)

, przy czym układ ten ma dokładnie jedno rozwiązanie (układ oznaczony), jeśli R(A) = R(Ą,) = n. Komentarz. Z twierdzenia Kroneckera-Capellego wynika, że

•    jeśli R(^4) < R(Ą.), to układ jest sprzeczny (nie ma rozwiązań),

•    jeśli R(i4) = R(Ą.) = n , to układ jest oznaczony.