9414912637

(ii)    Wynika z Definicji 3.1 (ii) jeśli przyjmiemy A = U A_n.

(iii) Wynika z (i) jeśli przyjmiemy A = U A_n.

(iv) Wynika z (i) jeśli przyjmiemy A\ = B i m = 1.

Twierdzenie 3.2 (Caratheodory’ego) Niech p* będzie miarą zewnętrzną określoną na rodzinie wszystkich podzbiorów przestrzeni X. Oznaczmy przez 911 rodzinę wszystkich podzbiorów A przestrzeni X spełniających warunek:

(car)    f\ p*(Z) — p*(Z fi A) + p*(Z\A).

zcx

Wówczas zachodzą warunki:

(i)    9JI jest o-ciałem w X,

(ii)    A (M*(A) = o=> Aem),

Acx

(iii)    funkcja p = p*\0.71, tj. funkcja p* ograniczona do rodziny 9JI, jest miarą określoną na o-ciele 9JI i dodatkowo jest to miara zupełna.

Miarę p będziemy nazywali miarą wyznaczoną przez miarę zewnętrzną p*.

Dowód Zanim przejdziemy do głównej części dowodu zauważmy, że warunek (car) jest równoważny warunkowi

(CAR)    /\ p*(Z) > p*(Z fi A) + p*(Z \ A).

ZCX

Istotnie, ponieważ

Z = (ZnA)U(Z\A),

więc wykorzystując Twierdzenie 3.1 (iii) dostajemy

2