9414912638

przy każdym Z C X. Otrzymana nierówność pokazuje, że warunek (car) jest równy warunkowi (CAR).

(i) Aby pokazać, że OT jest <r-ciałem musimy wykazać, że warunki (i), (ii) i (iii) Definicji

2.2    zachodzą.

Biorąc dowolny zbiór Z C X dostajemy

n*(z) = n*{znx) = n*{z n (0 u 0')) =

= n*(z n 0) + n*(z n 0') = ^*(zn0) + ^*(Z \ 0).

A zatem

/i*(Z)=/_ł^,(Zfl0)+/_i^,(Z\0)₁

tj. 0 (E 971 i warunek (i) Definicji 2.2 zachodzi.

Załóżmy teraz, że A 6 OT. Biorąc dowolny zbiór Z C X dostajemy n*(Z) = n*(z n (A u A!)) = n*(z n A) + n*(z n A') =

= H*(Z n A) + H*(Z r(x\ A)) = //(z n (A¹)¹) + n*{Z n (x \ A)) =

= VL'(Z\(X\A))+f(Zn(X\A))=S(Zn(X\A))+iS(Z\(X\A)), tj-

#<*(Z) = /x*(Z n (X \ A)) + M'(Z \ (X \ A)),

a to oznacza, że zbiór X\A spełnia warunek (car), czyli X\A G OT (warunek (ii) Definicji

2.2    zachodzi).

Zostało pokazać, że biorąc dowolny ciąg zbiorów Ai, A2, A3,... € OT również zbiór

U An e OT.

Dowód przeprowadzimy w czterech krokach.

1) Pokażemy najpierw, że zachodzi warunek

B_u B₂ 6 OT =► Bi U B₂ € OT.

Załóżmy zatem, że Bi € OT, tj. że

(*)    A SW = S(^z n 5i) + »*(^z \ ^Bi)

zcx

3