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38    (r). Lorsque m < it et k =ł= 0, alors k. nt < k • n.

II est a remarquer qu’il ne serait pas difficile de deduire ce dernier theoreme et certains theoremes anterieurs (7, 8,18—20, 29, 30) de ceux que M. Bernstein demontra dans sa These ^!).

M. Tars ki a pose le probleme d’etablir la reciproque du th. 38 et de prouver le theoreme plus generał qui suit:

39    (L). Lorsque k . m ^ k. it et k =4= 0, alors m ^ u.

M. Tarski (1924) a demontre cette proposition pour le cas de/: =2. Le probleme a ete resolu dans toute sa genera-lite par M. Lindenbaum (1926). On en deduit ces con-sequences:

40 (£,). Lorsque k. m = k. it et k =4= 0, alors m = n.

41 (L). Lorsque k • m <Lk. n, alors m n.

Pour k= 2 le th. 40 a ete demontre, comme on sait, par M. Bernstein “), une demonstration plus simple et basee sur une idee differente a ete donnee ensuite par M. S i e r p i ń s k i^:i). M. Bernstein esquisse aussi, dans sa These citee, une demonstration du th. 40 dans le cas generał; toutefois, ici le raison-nement de M. Bernstein est loin d’etre convaincant, car, bien que 1’idee principale soit entierement claire, sa realisation rencontre de serieux obstacles. (Test pourquoi M. Lindenbaum fut conduit a chercher la demonstration des th. 39 et 40 sur une yoie tout a fait differente.

M. L i n d e n b a u m est parvenu a etendre aux nombres car-dinaux arbitraires le theoreme d ’ E u c 1 i d e (theoreme fonc/amental de I'Arit\)metiąue) bien connu dans la Theorie des Nombres:

42    (L). Lorsque k et I sont des nombres finis premiers entre eux et k. m = /.n, alors un nombre Cardinal p existe tel que l’on a: nt = /. p et n = k . p.

Le probleme dit „de la decomposition”, c’est-a-dire celui de l’existence des nombres transfinis representables sous formę d’une somme (resp. d’un produit) de deux nombres plus petits— est d’une grandę importance dans la theorie des nombres car-dinaux. En rapport avec lui, M. Tarski a obtenu les resultats suivants:

») Math. Ann. 61 (1905).

-) L. c., p. 122 ss.

") Fund. Math. 3 (1922), pp. 1-6.