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+ n. K₀; le theoreme de Schróder-Bernstein:    lorsque

iu=n + p et n = m-J-q, alors m = n; et le theoreme de M. Bernstein: lorsque ntnt = m + »> alors ¹¹^ nt. Parmi les theoremes qui vont suivre il y en a plusieurs qui s’appuient aussi sur le lemme 6.

L’egalite m -f- p = m -f- q qui constitue 1’hypothese du lemme donnę — comme on sait — a 1’aide de Taxiome du choix une conclu-sion plus forte: soit p nt et q m (et de plus: m -(-p = nt = nt -f- q)» soit p — q. Dans cet ordre d’idees, M. Tarski a etabli les theoremes suivants:

7    (T). Si m + p = tn + q> m<p et m<q, on a: p = q.

8    (T). Si Ar.m-f“P = & .ni + q, on a: m-j“P = m-f-q.

9    (T). Si ni + p = ni + q et p<q —p (ou q<p — q), on a: nt = tti-f-P = w + q*

Quant a la difference de deux nombres cardinaux, qui figurę dans 1’enonce du th. 9, sa definition sera donnee dans 47.

10    (T). Si m + p = m-)-2^p, on a: nt = m -|-p = m -f- 2^V.

11    (T). a et b etant des alephs, si Ton a: m -f- a = nt -f- b, alors: n = b ou bien a nt et b nt (nt = ttt -f- it = nt -f- b).

Les memes conclusions (pourtant sans Fegalite nt = ttt.a = nt.b) peuvent etre tirees de 1’hypothese: m.a = tn.b.

12    (T). Pour que nt soit un nombre non-transfini, il faut et il suffit que, p et q etant deux nombres arbitraires, les condi-tions: tu —j— p = nt —|— q et p = q soient equivalentes.

Ce theoreme est plus fort que le th. *120-41 des „Principia Mat/jematica'.

Dans 1’enonce du th. 12 le signe „=” peut etre remplace partout par    ou „<L”.

Passons aux theoremes concernant la transformation de 1’inegalite: nt p nt -j- q.

13    (T)» Si nt 4“ P ^ Nt q» il existe un nombre Cardinal r tel que nt -j- p = ttt + r et r < q.

Le theoreme analogue subsiste pour la relation

A 1’aide de 13, M. Lindenbaum a demontre le theoreme suivant (en resolvant un probleme pose par M. Tarski):

14    (£). Lorsque AdBCZC, /),CC et A~A_V il existe un ensemble B_x tel que Ton a: A_xdB_xdC et B~B_X^X).

') Comme nous avons cependant remaraue, c’est deja en 1911 que

M    • •

M. Korselt (Uber einen Beweis des Aquivalenzsatzes, Math. Ann. 70 (1911), p. 296) a esquisse (d'ailleurs d’une faęon tres concise) une demon-stration du th. 14.