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Les theoremes de M. Tars ki concernent le probleme de la comparabilite des nombres cardinaux et la ąuestion des ope-rations fondamentales avec eux, a savoir: addition, soustraction, multiplication et elevation en puissance.

Pour le premier de ces problemes, M. Tarski utilise, outre les relations classiąues introduites encore par C a n t o r:    <C

etc., certaines relations analogues <C>, <* etc., negligees jusqu’a present. Voici la definition de la relation fondamentale O:

1. On a:m<C*n, lorsquem = 0, ou bien, lorsque chaque ensemble de puissance u peut etre decompose en nt ensembles non-vides et disjoints(ou — ce qui revient au meme— lorsqu’il peut etre transforme d'un faęon univoque en un ensemble de puissance nt).

La relation -O possede beaucoup de proprietes analogues a celles de (elle est p. ex. reflexive, transitive et monotone par rapport a 1’addition et a la multiplication). En admettant l’axiome du choix, on peut meme demontrer que les deux relations sont identiques. Sans cela, on obtient seulement les theoremes:

2    (T). Si m<^n, on a: m <>n.

3    (T). u etant un nombre fini ou un aleph, ou bien — nt un nombre fini, si m <> n, on a: tn tt.

4    (T). Si nt<>n, on a: 2^m<^2ⁿ (et en generał, pour

p =4= 0: p^m<pⁿ).

Un lemme, qui ne parait pas trop interessant par lui-meme, joue cependant un grand role dans les recherches de M. Tarski concernant 1’addition et la soustraction:

5    (T). Si A~B> il existe des ensembles C_VC_VD_X et D₂

remplissant les conditions: A — B = C_} -j- C_v B — A — D_x~\- D₂₎ Cj. C₂ = 0 = D_x. D₂> C, ~ D_v C₂ “I^- A.B ~ A.B ~ D₂ -j- A . B»

Traduit en langage de la theorie des nombres cardinaux, le lemme 5 prend la formę suivante:

6    (T). Si m + p = m + q, il existe des nombres u, Pj et q_l

tels que Ton a: p = it-f-p₁, q = it —(— c\_v nt —p_x = ni = ni —f- qi*

En remplaęant dans la these du th. 6 la derniere egalite double par la condition equivalente: pj. X₀ ^ tu et . K₀ nt, on

arrive a une proposition qui permet de deduire d’une faęon ele-mentaire et purement arithmetique les theoremes connus et im-portants de la theorie des nombres cardinaux, comme p. ex. le theoreme de M. Z e r m e 1 o: lorsque m —m-j-it, alors m =