1629290285

(la)

(lb)

Istotą racjonalnego modelowania za pomocą metody bilansowej jest użycie w pierwszej kolejności praw podstawowych związanych z bilansami wielkości ekstensywnych, czyli masy, pędu, krętu i energii, a następnie uzupełnianie modelu prawami lub zależnościami z pozostałych zbiorów piramidki. To uzupełnianie jest konieczne dla domknięcia modelu, przez co rozumiemy zrównanie liczby niewiadomych z liczbą równań.

Metoda wariacyjna polega na zapisaniu funkcjonału (w mechanice jest to zazwyczaj działanie w sensie Hamiltona), który na trajektoriach rzeczywistych przybiera wartość stacjonarną. Model zjawisk dynamicznych uzyskujemy z warunku stacjonarności funkcjonału. Racjonalność metodyki w ramach podejścia wariacyjnego polega na systematycznym wyznaczeniu działania w sensie Hamiltona, a następnie zastosowaniu warunku koniecznego jego stacjonarności w postaci odpowiedniego równania różniczkowego (np. równania Eulera-Poissona stosowanego w zagadnieniach wytrzymałości materiałów). Prawdziwy kłopot pojawia się wówczas, kiedy w literaturze nie znajdujemy odpowiedniego równania; wtedy racjonalność postępowania polega na wszczęciu procedury „wariowania” funkcjonału. Jest jeszcze jeden element racjonalności modelowania wspólny dla obu podejść. Otóż warto na wstępie sformułować cel modelowania, gdyż ten znacznie wpływa na ostateczny kształt modelu.

3. MODELOWANIE FIZYCZNE

Warunkiem utworzenia modelu matematycznego przyczynowego jest zespół działań nazywanych przez nas modelowaniem fizycznym. Najważniejszym z tych działań jest uświadomienie sobie jakie fakty konstytuują zjawisko, tzn. które z nich mają znaczenie pierwszoplanowe, które zaś drugorzędne. W praktyce oznacza to wyodrębnianie istotnych elementów rozważanego zjawiska, a zwłaszcza ustalenie celu modelowania, schematu działania urządzenia lub poznanie dynamiki zjawiska z wykresów dostępnych badaczowi, wreszcie rozpoznanie praw, które kształtują zjawisko.

Dla konkretyzacji powyższych dość ogólnych stwierdzeń zajmiemy się modelowaniem fizycznym skrzydła samolotu. Na rys. 2 pokazana jest belka zamocowana w szczególny sposób - na jednym końcu jest ona utwierdzona, a na drugim swobodna. Belka taka nazwana jest wspornikiem i może ona modelować także smukłe, wysokie budowle, których jeden koniec jest osadzony w fundamen-

Zakładamy, że znane są podstawowe własności dynamiczne belki, tzn. jej sztywność na zginanie El(x) i masa jednostkowa }j.(jc). Znane jest także obciążenie poprzeczne belki w postaci p(x, t), co oznacza intensywność obciążenia mierzoną w N/m. Chcemy podkreślić, że dla celów modelowania równie dobrze można wziąć belkę zamocowaną inaczej lub wręcz swobodną, gdyż sposób wyprowadzania równań ruchu belki jest niezależny od sposobu jej zamocowania!

Podstawowe założenia upraszczające są następujące:

1)    nie uwzględniamy obrotów przekrojów poprzecznych;

2)    pomijamy wpływ naprężeń stycznych na ugięcie belki;

3)    przekroje poprzeczne się nie paczą;

4)    rozpatrujemy tylko liniowy zakres pracy belki, czyli obowiązuje prawo Hooke’a.

Na zakończenie tego punktu chcemy podzielić się wątpliwością wynikającą z naszego doświadczenia dydaktycznego. Termin modelowanie fizyczne wydaje się nam zbyt wąski, jeśli proponowana metodyka miałaby być stosowana do zjawisk przyrodniczych, wykraczających poza zwyczajowo rozumianą fizykę, np. do modelowania mięśni, w których podstawowe procesy mają charakter biologiczno-chemiczny (zob. np. [6]). Istnieje więc potrzeba znalezienia adekwatnego pojęcia na to, co do tej pory nazywaliśmy modelowaniem fizycznym.

4. METODA BILANSOWA

Dla utworzenia modelu metodą bilansową skorzystamy z różniczkowej postaci bilansu pędu

dt

i krętu

-£- = Af_c

W tym celu rozważmy nieskończenie mały element belki o długości dx i masie dm uwalniając go od więzów -rys. 3. Dla tego elementu mamy

.		^1 t t f '	' p(x, t)
i	^Mfl		t JM + dM
	Q		^Q + dQ X
^x >		< ^ >

'/A    gdzie, dla skrócenia zapisu, użyliśmy oznaczenia

y,„ =3²y/3t² , zaś (p jest kątem obrotu elementu, a jego Rys. 2. Schemat belki jednostronnie utwierdzonej    masa

4