1935182617
9
0.2. LICZBY RZECZYWISTE.
Dla n +1 rozważmy ciąg dodatnich liczb rzeczywistych x\,..., xn+\ takich że X\ ■. s. • xn+\ = 1. Bez straty ogólności możemy założyć, że xn jest najmniejszą liczbą w tym ciągu a xn+1 jest największą. Wtedy 1 — xn > O i £n+1 — 1 > O a stąd mamy
O < (1 — £n)(®n+l — 1) = Xn + Xn+i — 1 — £n£n+i —> xnxn+i < £l + £„+i — 1.
Kładąc y\ = x\,..., yn-1 = £n-i oraz yn = xnxn+\, widzimy że
yi...yn = x1... xn-i(xnxn+i) = 1.
Stosując założenie inducyjnę mamy n < y\ + ... + yn — xi + ... + x„_i + xnxn+\. Stosując powyższą nierówność mamy
n < yi + ... + yn = Xi + ... + xn-\ + xnxn+\ <£+... + xn_i +xn + xn+\ — 1,
więc w końcu dla dowolnych dodatnich liczb Xi,, xn+\, takich żex\-... ■ xn+i = 1 mamy żadaną nierówność
71 + 1 < Xi + — + £n+l-
Z zasady o indukcji matematycznej udowodniliśmy żądaną nierówność dla dowolnej dodatniej liczby naturalnej n € N.
Przykład 0.2.3 (Nierówność Cauchy’ego) Dla dowolnej dodatniej liczby naturalnej n € N, dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych a\,...,an zachodzi nierówność
tya\ ■ ... - a„ <
Ol + ... + an n
Niech A = tyai ■... ■ an i dla k € {1,... ,n} Xk = Oczywiście każda liczba Xk jest dodatnia oraz
Na mocy nierówności udowodnionej w poprzednim przykładzie, mamy
77 < £i + • • • + £n
ai an ai ■... ■ an a\ •... • an _
ai + ... + a„ A
a więc
a\ + ... + an n
co należało dowieść.
Jeżeli w ostatnim przykładzie dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x\,.. .xn podstawimy za Oi = ..., On = to otrzymamy
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
50.2. LICZBY RZECZYWISTE. Przykład 0.1.2 Pokażemy, że dla każdej liczby naturalnej n € N zachodzi 6
I. LICZBY RZECZYWISTE ■ 10. Wykaż, że + + /2 + /3 yi + /5 /
Obraz8 (51) Zadania otwarto ZestawZestaw I (Liczby rzeczywiste) Zadanie 1. Wiedząc, że x — 1
Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y, takich że x< y, i dowolnej dodat
10 Liczby rzeczywiste Jeżeli sformułować to twierdzenie dla liczb dodatnich a i b, to sprowadza się
więcej podobnych podstron