357502974

Rozdział 1

Grupy

Ostatnie zmiany 24.10.2005 r.

1.1    Grupy, podgrupy, homomorfizmy

Rozpoczniemy od przypomnienia podstawowych pojęć i faktów z teorii grup, występujących w kursowym uniwersyteckim wykładzie algebry. Następujące książki będą przydatne w odświeżaniu tych wiadomości:

[BB] A. Białynicki-Birula, Zarys algebry. PWN Warszawa 1987.

[H] I. N. Herstein, Topics in Algebra. 2nd edition. Wiley, New York 1975.

[KM] M. I. Kargapołow, J. I. Mierzliakow, Podstawy teorii grup. PWN Warszawa 1989.

[L] S. Lang, Algebra. PWN Warszawa 1973.

[S] K. Szymiczek, Zbiór zadań z teorii grup. PWN Warszawa 1989.

1.1.1    Definicja i przykłady grup

Pólgrupą nazywamy system złożony ze zbioru S i określonego w tym zbiorze łącznego działania binarnego.

Monoidem nazywamy półgrupę z jedynką (elementem neutralnym).

Grupą nazywamy monoid, w którym każdy element ma element odwrotny.

Inne definicje: zob. [S], zad. 051, 053, niezależność aksjomatów: zad. 052.

Przykład 1.1.1. (a) Grupa symetryczna S(X) zbioru X. Jej elementami są bijekcje <p : X —* X, natomiast działaniem jest superpozycja bijekcji: dla <p,tp € S(X) odwzorowanie ip o ip : X —* X działa następująco:

(<poifi)(x) =¥>(#*))

dla każdego x € X. Gdy zbiór X jest skończony, grupę S(X) nazywa się grupą permutacji zbioru X i oznacza S_n, gdzie n jest liczbą elementów zbioru X.

(b)    Grupa funkcji M(X, G) określonych na zbiorze X o wartościach w grupie G. Dla dwóch funkcji f,g:X —* G ich iloczyn definiujemy jako funkcję fg . X —* G taką, że

(/»)(*) = /(*)■»(*)

dla każdego x € X (po prawej stronie mamy iloczyn dwóch elementów grupy G).

(c)    Pełna grupa liniowa GL(n,K) składa się z wszystkich odwracalnych macierzy kwadratowych stopnia n o elementach z ciała K. Specjalna grupa liniowa SL(n, K) składa się z wszystkich macierzy kwadratowych stopnia n o elementach z ciała K, których wyznacznik jest równy 1.

(d)    Grupa kwatemionów Quat. W grupie SL(2,C) weźmy macierze

Wtedy A⁴ = B⁴= I, A² = B², BAB-¹ = A~^x i równości te pozwalają stwierdzić, że następujących 8 macierzy

I, A, A², A³, B, AB, A²B, A³B

1