490575239

Rozdział 1

Grupy

Ostatnie zmiany 16.09.2010 r.

1.1    Grupy, podgrupy, homomorflzmy

Rozpoczniemy od przypomnienia podstawowych pojęć i faktów z teorii grup, występujących w kursowym uniwersyteckim wykładzie algebry. Następujące książki będą przydatne w odświeżaniu tych wiadomości:

[BB] A. Białynicki-Birula, Zarys algebry. PWN Warszawa 1987.

[H] I. N. Herstein, Topics in Algebra. 2nd edition. Wiley, New York 1975.

[KM] M. I. Kargapołow, J. I. Mierzliakow, Podstawy teorii grup. PWN Warszawa 1989. [L] S. Lang, Algebra. PWN Warszawa 1973.

[S] K. Szymiczek, Zbiór zadań z teorii grup. PWN Warszawa 1989.

1.1.1    Definicja i przykłady grup

Półgrupą nazywamy system złożony ze zbioru S i określonego w tym zbiorze łącznego działania binarnego.

Monoidem nazywamy półgrupę z jedynką (elementem neutralnym).

Grupą nazywamy monoid, w którym każdy element ma element odwrotny.

Inne definicje: zob. [S], zad. 051, 053, niezależność aksjomatów: zad. 052.

Przykład 1.1.1. (a) Grupa symetryczna S(X) zbioru X. Jej elementami są bijekcje ip : X —> X, natomiast działaniem jest superpozycja bijekcji: dla ip,ip £ S(X) odwzorowanie <po ip : X —» X działa następująco:

(9»WW =¥#(*))

dla każdego x G X. Gdy zbiór X jest skończony, grupę S(X) nazywa się grupą permutacji zbioru X i oznacza S(n) (lub S_n), gdzie n jest liczbą elementów zbioru X.

(b)    Grupa funkcji M(X, G) określonych na zbiorze X o wartościach w grupie G. Dla dwóch funkcji /, g : X —► G ich iloczyn definiujemy jako funkcję fg:X—*G taką, że

(/j)M = /M • sM

dla każdego x € X (po prawej stronie mamy iloczyn dwóch elementów grupy G).

(c)    Pełna grupa liniowa GL(n, F) składa się z wszystkich odwracalnych macierzy

1