357502993

1.2. DZIAŁANIE GRUPY NA ZBIORZE nieabelowa grupa prosta G nie jest rozwiązalna, gdyż E < G jest jej ciągiem kompozycyjnym i jedyny faktor prosty G/E = G jest grupą nieabelową.

Najsławniejszym twierdzeniem o grupach rozwiązalnych jest zapewne twierdzenie Feita i Thompsona z 1963 roku mówiące, że każda grupa skończona rzędu nieparzystego jest rozwiązalna. Wynika stąd w szczególności, że każda nieabelowa skończona grupa prosta ma rząd parzysty.

1.2 Działanie grupy na zbiorze

Mówimy, że grupa G działa na zbiorze X jeśli jest dane odwzorowanie G x X —> X, (g,x) •-» gx,

takie, że spełnione są dwa warunki:

(a)    f(gx) = (fg)x dla f,geG, xeX,

(b)    lx = x dla x € X.

Uwaga 1.2.1. Każdy element g G G wyznacza odwzorowanie g' zbioru X w siebie

g' : X -> X, g'(x) = gx.

Odwzorowanie to jest bijekcją. Injektywność g' wynika stąd, że

gx=gy =$*    g~¹(gx) = g~^l(gy) =►    {g~'g)x = (g~¹g)y    => x = y.

Natomiast surjektywność g' wynika z faktu, że x = g(g~ⁱx) dla każdego x G X. Krótko mówiąc, (g~¹)' jest odwzorowaniem odwrotnym do g'.

Uwaga 1.2.2. Odwzorowanie G —» S(X), g >—* g' jest homomorfizmem grup. Mamy mianowicie

(/s)'W = Us)x = !(sx) = /VM) = (/W )(*)

dla każdych x € X, f,g € G. Zatem (fg)' = f o g'.

Na odwrót, każdy homomorfizm G —> S(X), g *—* g' wyznacza działanie grupy G na zbiorze X poprzez odwzorowanie

G x X -* X, (g, x) >-> gx = g'(x).

Rzeczywiście, dla f,g € G mamy /' o g' = (fg)' zatem dla dowolnego x G X otrzymujemy

f(gx) =    = (/'o₉')W = (/»)'(*) = (fg)x,

lx =    l'(x) = X,

gdzie V jest jedynką grupy S(X).

Przyporządkowanie każdemu homomorfizmowi grupy G w grupę symetryczną S(X) zbioru X odpowiadającego mu w ten sposób działania grupy G na zbiorze X ustala wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość między homomorfizmami grupy G w grupę S(X) i działaniami grupy G na zbiorze X. W związku z tym działaniem grupy G na zbiorze X można nazwać dowolny homomorfizm

G -> S(X).

Przykład 1.2.1. Najbardziej naturalnym przykładem działania grupy na zbiorze jest działanie grupy symetrycznej G — S(X) zbioru X na zbiorze X:

S(X)xX-^X, (a,x)^a(x).

Odpowiadający temu działaniu homomorfizm G —* S(X) jest homomorfizmem identycznościowym.

Definicja 1.2.3. Niech grupa G działa na zbiorze X. Elementy x, y € X nazywają się sprzężone, jeśli istnieje g € G taki, że y = gx. Piszemy wtedy x ~ y. O elemencie g takim, żey = gx mówimy, że transformuje x na y.

Relacja sprzężenia ~ jest relacją równoważnościową w zbiorze X.