490575230

490575230



11


1.2. DZIAŁANIE GRUPY NA ZBIORZE

of quasithin groups (razem ponad 1200 stronic), które według przekonania autorów definitywnie usuwają znalezione luki i w ten sposób stanowią ostatnie ogniwo w klasyfikacji skończonych grup prostych (zob. informację bibliograficzną w Notices of the AMS Vol. 51 No. 8 (2004), p. 977). Jednakże kompletny dowód twierdzenia klasyfikacyjnego nie jest jeszcze napisany i ciągle istnieją wątpliwości, czy nie pojawią się luki trudne do uzupełnienia. Trwa realizacja programu Gorensteina, Lyonsa i Solomona przedstawienia głównych części dowodu twierdzenia klasyfikacyjnego. W latach 1994-2005 opublikowano 6 monografii w wydawnictwie American Mathema-tical Society, ale program ten jest jeszcze daleki od finalizacji. Autorzy tego projektu przewidują, że uda im się napisać kompletny dowód twierdzenia klasyfikacyjnego w serii monografii, które w sumie będą miały około 3000 do 4000 stronic tekstu. Zapowiedź autorów w pierwszym tomie serii brzmi dość skromnie:

It is our purpose in these monographs to prove the following theorem:

Classification Theorem. Every finite simple group is cyclic of pńme order, an al-ternating group, a finite simple group of Lie type, or one of the twenty-six sporadic finite simple groups.

Historię całego przedsięwzięcia przedstawia interesująco praca Ronalda Solomona A brief history of the classification of the finite simple groups, Bulletin of the Amer. Math. Soc. Vol. 38 (2001), pp. 315-352. Sytuację po ukazaniu się książek Aschbache-ra i Smitha opisuje Micheal Aschbacher w artykule The status of the classification of finite simple groups, Notices of the Amer. Math. Soc. Vol. 51, No. 7 (2004), pp. 736-740.

Powracając do ciągu kompozycyjnego (1.4), jeśli faktory tego ciągu są abelowe (a więc izomorficzne z grupami Zp dla liczb pierwszych p), to grupa G nazywa się grupą rozwiązalną. Wszystkie grupy małych rzędów są rozwiązalne. Najmniejszą grupą skończoną, która nie jest rozwiązalna jest grupa alternująca A5 rzędu 60. Jest to mianowicie najmniejsza nieabelowa grupa prosta. Żadna nieabelowa grupa prosta nie jest rozwiązalna, gdyż E < G jest jej ciągiem kompozycyjnym i jedyny faktor prosty G/E = G jest grupą nieabelową.

Najsławniejszym twierdzeniem o grupach rozwiązalnych jest zapewne twierdzenie Feita i Thompsona z 1963 roku mówiące, że każda grupa skończona rzędu nieparzystego jest rozwiązalna. Wynika stąd w szczególności, że każda nieabelowa skończona grupa prosta ma rząd parzysty.

1.2 Działanie grupy na zbiorze

Mówimy, że grupa G działa na zbiorze X jeśli jest dane odwzorowanie G x X —* X, (g, x) i—► gx, takie, że spełnione są dwa warunki:

(a)    f(gx) = (fg)x dla f,g€G, x X,

(b)    lx = x dla xX.

Uwaga 1.2.1. Każdy element g G wyznacza odwzorowanie g' zbioru X w siebie g' : x -* X,    g'(x) = gx.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
11 1.2. DZIAŁANIE GRUPY NA ZBIORZE1.2.1    Działanie grupy przez automorfizmy
13 1.2. DZIAŁANIE GRUPY NA ZBIORZE G-orbita zbioru X zawierająca element x G X ma postać: {y G X : y
1.2. DZIAŁANIE GRUPY NA ZBIORZE nieabelowa grupa prosta G nie jest rozwiązalna, gdyż E < G jest j
11.2.    Działanie prądu na organizm ludzki oraz dopuszczalne napięcia dotykowe rażen
011(2) 11 • działanie przeciwarytmiczne; na działanie to składają się dwa mechanizmy: >
larsen0233 11. Fizjologia oddychania 233 Ryc. 11.2 Działanie surfaktantu na strukturę pęcherzyka. W
14 ROZDZIAŁ 1. GRUPY1.2.1 Działanie grupy przez automorfizmy wewnętrzne Rozpatrujemy działanie grupy
3. Działanie grupy na przestrzeń topologiczną 153 Działanie grupy na przestrzeń topologiczną3.1
Zestaw 6 Działanie grupy na zbiór, lemat Burnside’a 1.    Sprawdzić, czy
IMG68 B. w celu zapewnienia skuteczności działania preparatów 11. większa wrażliwość na zachwaszcze
SNAP! lipca 11 cz 2 działalności nakierowanej na tworzenie prywatnych kolekcji. Dziedzictwo kulturow
Sprawozdanie Zarządu z działalności Grupy Kapitałowej - rok 2014_<■ 11 ° l; •_ Statut przyznaje
Sprawozdanie Zarządu z działalności Grupy Kapitałowej - rok 2014_<■ 11 ° l; •_ Podstawowymi cela
Sprawozdanie Zarządu z działalności Grupy Kapitałowej - rok 2014_<■ 11 ° l; •_ Sprawozdania nie

więcej podobnych podstron