490575234

14

ROZDZIAŁ 1. GRUPY

1.2.1 Działanie grupy przez automorfizmy wewnętrzne

Rozpatrujemy działanie grupy G na zbiorze X = G określone następująco:

G x G —> G, (g, x) i-» gxg~^l =: x⁹.

Gdybyśmy zachowali oznaczenie gx dla obrazu pary (g, x) w zbiorze X = G, to mielibyśmy gx — gxg~^l, co byłoby mylące. Dlatego w tym specjalnym przypadku stosujemy symbolikę "wykładniczą” i piszemy x⁹ zamiast gx. Zauważmy, że związana z tym działaniem grupy GnaG bijekcja g' € S(G) działa następująco:

g'{x) = gxg~^l = i_g(x) Vx € G.

A więc g' jest automorfizmem wewnętrznym i_g. W związku z tym, opisane wyżej działanie grupy G na G nazywa się działaniem przez automorfizmy wewnętrzne. Orbitę

x^a ={x⁹ e G:geG} = {gxg^_1 : g € G} nazywa się klasą elementów sprzężonych grupy G. Natomiast stabilizator

Stabx = {/ 6 G : fxf~^x = x} = {/ € G : fx = xf}

nazywa się centralizatorem elementu x i oznacza Z(x).

Dla grupy skończonej G równanie klas przyjmuje następującą postać:

\G\ =J2\^G: Słabli =J2\^{G: z}(^xi) I-

Tutaj X\,Xk są elementami reprezentującymi wszystkie różne klasy elementów sprzężonych grupy G oraz \G : Z(xi)\ = \xf\ jest liczbą elementów w klasie elementów sprzężonych z elementem z*. Na szczególną uwagę zasługują klasy jednoelemen-towe:

|x^G| = 1    ^ gx = xg Vg € G o x € Z{G).

A więc klasa jest jednoelementowa wtedy i tylko wtedy gdy jej element należy do centrum Z(G) grupy G. Stąd rozbicie grupy G na rozłączne klasy elementów sprzężonych zapisujemy zwykle w postaci

G = Z{G) Uif U-Uif,

gdzie elementy Xi reprezentują różne klasy elementów sprzężonych oraz \xf\ > 1 dla i = 1,..., r, a równanie klas

|G| = \Z(G)[ + ±\xf\ = \Z(G)\ + Y.\G-.Z(x_i)\,

1=1    i=1

gdzie Xi € G reprezentują różne klasy elementów sprzężonych oraz \G : Z(xi)\ > 1 dla i = 1,... ,r.