357502976

11

1.2. DZIAŁANIE GRUPY NA ZBIORZE

1.2.1    Działanie grupy przez automorfizmy wewnętrzne

Rozpatrujemy działanie grupy G na zbiorze X — G określone następująco:

G x G -> G, {g, x) i-» gxg^-1 =: x⁹.

Gdybyśmy zachowali oznaczenie gx dla obrazu pary (g,x) w zbiorze X = G, to mielibyśmy gx = gxg~¹, co byłoby mylące. Dlatego w tym specjalnym przypadku stosujemy symbolikę "wykładniczą” i piszemy x⁹ zamiast gx. Zauważmy, że związana z tym działaniem grupy G na G bijekcja g' € S(G) działa następująco:

g'{x) = gxg~^l = i_g(x) Vx€G.

A więc g' jest automorfizmem wewnętrznym i_g. W związku z tym, opisane wyżej działanie grupy G na G nazywa się działaniem przez automorfizmy wewnętrzne. Orbitę

x^G = {x⁹ € G : g G G} = {gxg~^l :g € <?}

nazywa się klasą elementów sprzężonych grupy G. Natomiast stabilizator

Sta ba: = {/ 6 G : /x/^_1 = z} = {/ € G : fx = xf}

nazywa się centralizatorem elementu x i oznacza Z(x).

Dla grupy skończonej G równanie klas przyjmuje następującą postać:

k    k

|G| = £)|G:StabĄ| = ^;iG:Z(_W)|.

i=l    i=l

Tutaj | G : Z(x) \ — |x^G| jest liczbą elementów w klasie elementów sprzężonych z elementem x. Na szczególną uwagę zasługują klasy jednoelementowe:

|x^G| = 1    gx = xg Wg e G    x € Z(G).

A więc klasa jest jednoelementowa wtedy i tylko wtedy gdy jej element należy do centrum Z(G) grupy G. Stąd rozbicie grupy G na rozłączne klasy elementów sprzężonych zapisujemy zwykle w postaci

G = Z(G) U xf U • • • U x^G, gdzie |x^G| > 1 dla i = 1,...,r, a równanie klas

|G| = |Z(G)| + ]T|xf| = |Z(G)| + £|G:Z(*,)|,

gdzie Xi 6 G są tak dobrane, że |G : Z(xi)\ > 1 dla i = 1,... ,r.

1.2.2    Zastosowania w teorii grup skończonych

Wskażemy teraz trzy zastosowania równania klas w teorii grup skończonych.

Twierdzenie 1.2.9. Jeśli rząd grupy G jest potęgą liczby pierwszej p, to grupa G ma nietrywialne centrum. Zatem

|Z(G)| > p.

Dowód. W równaniu klas mamy

Pⁿ = |G| = |Z(G)| + £|G:Z(x,)|,

gdzie n jest pewną liczbą naturalną oraz |G : Z(xi)\ > 1 dla i = 1,... ,r. Ponadto, każdy indeks |G : Z(xi)\ jest dzielnikiem rzędu grupy G a więc jest także potęgą liczby p. Zatem \Z(G)\ musi dzielić się przez p.    □