490575232

13

1.2. DZIAŁANIE GRUPY NA ZBIORZE

G-orbita zbioru X zawierająca element x G X ma postać:

{y G X : y ~ x} = {gx G X : g G G} =: Ga:.

Zbiór X można więc przedstawić jako sumę mnogościową rozłącznych orbit:

X = \jGxi

gdzie Xi przebiega zbiór reprezentantów orbit zbioru X. Stąd, dla zbioru skończonego X, otrzymujemy

m = EiG*ii-

Bardzo ważnym dla zastosowań jest fakt, że liczbę elementów |Ga:| orbity Gx można przedstawić jako indeks pewnej podgrupy grupy G. Przystępujemy do opisu tego przedstawienia.

Definicja 1.2.5. Niech grupa G działa na zbiorze X. Stabilizatorem elementu x G X nazywamy zbiór

Staba: = {/gG:/i = a:}.

Łatwo zauważyć, że Staba: jest podgrupą grupy G. Jeśli s G Staba:, to dla dowolnego elementu jGG mamy (gs) x = g(sx) = gx. A więc każdy element warstwy g-Staba: transformuje element x na ten sam element gx. Pokażemy, że poza warstwą g • Staba: nie ma w grupie G elementów, które transformują x na gx.

Twierdzenie 1.2.6. Niech grupa G działa na zbiorze X i niech x G X, g G G.

(a)    Jeśli y = gx, to zbiór elementów h G G transformujących x na y (tzn. takich, że y = hx ) jest warstwą g • Staba: w grupie G.

(b)    Przyporządkowanie elementowi y = gx G Gx zbioru wszystkich elementów h G G transformujących x na y jest bijekcją orbity Gx na zbiór warstw G : Staba:.

Dowód, (a) wynika z następujących równoważności:

gx = hx x = g~^lhx g~^lh G Staba:    h G g ■ Staba:.

(b) Na podstawie (a) mamy odwzorowanie

Gx —* G : Stab x, gx h-* {/t G G : gx — hx} = g ■ Stab x.    (1.5)

Jest to oczywiście surjekcja (bo g przebiega całą grupę G). Injektywność wynika z następujących równoważności:

/• Staba: = g ■ Staba:    f~^lg G Staba:    fx = gx.

Zatem odwzorowanie (1.5) jest bijekcją.    □

Wniosek 1.2.7. Jeśli grupa G działa na zbiorze X, to dla każdego x G X,

\Gx\ = |G : Stab a;|.

W szczególności, jeśli grupa G jest skończona, to liczba elementów w orbicie Gx jest dzielnikiem rzędu grupy G.

Wniosek 1.2.8. Jeśli grupa skończona G działa na zbiorze skończonym X oraz {aą,... ,Xk} jest zbiorem reprezentantów wszystkich orbit zbioru X, to

k

\X\ = J2\G:StabXi\.

Tę równość nazywa się równaniem klas dla działania grupy G na zbiorze X.