3582320372

Zestaw 6 Działanie grupy na zbiór, lemat Burnside’a

1.    Sprawdzić, czy przyporządkowanie <^((a, 6)) — (o + t, b + t) określa działanie grupy G = R w zbiorze R². Jeśli tak, to wyznacz orbity i stabilizatory względem tego działania.

2.    Sprawdzić, że przyporządkowanie każdej liczbie k £ Z| funkcji ip: Z₈ —> Z₈ za pomocą wzoru (pk{a) = k -₈ a określa działanie w zbiorze Z₈. Wyznacz orbity i stabilizatory punktów przy tym działaniu.

3.    Niech G = (r), gdzie r = ^ * 9 3 5 g g \ 1 7 j ^e Dziar

łanie grupy G w zbiorze Z — {1,2,3,4,5,6,7,8,9} określamy przyporządkowując każdemu cr £ G funkcję a. Wyznaczyć orbity elementów zbioru Z oraz punkty stałe względem działania grupy G.

4.    Niech D_n będzie grupą izometrii własnych wypukłego n-kąta foremnego. Udowodnij, że \D_n\ = 2n.

5.    Udowodnij, że rząd grupy obrotów czworościanu to 12.

6.    Udowodnij, że rząd grupy obrotów sześcianu to 24.

7.    Udowodnij indukcyjnie, że \An\ — |n!.

8.    Ile jest różnych dwukolorowych naszyjników o sześciu koralikach, które są:

-    różne ze względu na obroty naszyjnika

-    różne ze względu na wszystkie izometrie.

9.    Na ile sposobów można położyć 4 wieże na szachownicy 4x4 tak, aby żadne dwie się nie szachowały.

10.    Ile istotnie różnych naszyjników złożonych z dwóch koralików czerwonych, czterech białych i jednego czarnego można utworzyć, jeśli wszystkie koraliki muszą być wykorzystane? Dwa naszyjniki uważamy za takie same, jeśli jeden z nich powstaje z drugiego przez dowolne przekształcenie izometryczne.

11.    Ile istotnie różnych naszyjników złożonych z 8 koralików można utworzyć, jeśli koraliki są tylko białe i czarne oraz w naszyjniku powinno być więcej koralików białych niż czarnych.

12.    Długie przekątne sześciokąta foremnego dzielą go na sześć trójkątów. Każdy z trójkątów kolorujemy na niebiesko, czerwono lub zielono. Ile jest różnych pokolorować które są:

1