3893820055

IV-8

§2.2.

Zadanie 1. w : V^k —♦ V^k jest bijekcją i dla 7r, a G Sk zachodzi 7nr = noa. Twierdzenie 1. Wżdr (<?) definiuje antysymetryczą i altemującą funkcję F : X^k —> F. Dowód. By dowieść antysymetrii zauważamy, że pisząc dla krótkości w miejsce Sgn(7r) mamy dla <7 € S*.-:

F o a — I ^ £*■•(/ ° ff) 1 °    ^ e_n • (f on oa) — e^-i • e_w<T • (/ o 7ra)

\7r€Sfc    /    fl"€Sfc    7r€Sfc

Zastępując 7ro<r przez r pod znakiem sumy stwierdzamy, że F o a =    • F, co oznacza

antysymetrię funkcji F.

Gdy 2p Of, to z antysymetrii wynika już, że funkcja F jest alternująca; patrz zad.    1 w p.l.    Dla zainteresowanych podamy dowód,    słuszny i gdy 2f =    0p.    Niech

x =    (xi)^k= i €    V^k będzie ciągiem takim, że x_s — Xt    dla pewnych s    < t, i niech r

oznacza transpozycję (s, t). Przy S* oznaczającym zbiór permutacji odpowiedniego znaku mamy wtedy 7r e ^ttot £ S^, skąd

F{x) = 53 /POO) - 53 /(5fo?(x)) = 53 /(5f(*))    - 53 /W*))    (^bo    x(^x)    = ^x)•

7reSj    n-eSj    7r€S^    7res£

Tak więc F(xi, ...,Xk) = 0 jeśli x_s = x_t dla pewnych s < t, co kończy dowód. □ Uwaga 1. Gdy X = V jest przestrzenią liniową i funkcja / : V^k —► F jest wieloli-niowa, to i funkcja F : V^k —* F jest taka. Wynika to stąd, że jest ona kombinacją wieloliniowych funkcji fon.

Potraktujmy teraz funkcję Mk —*■ F, zadaną wzorem /(A) := ana22---cikk, jako funkcję wierszy macierzy -a więc jako funkcję z V^k do F, gdzie V = F . Oczywiście, jest ona liniowa ze względu na każdy z wierszy, przy ustalonych pozostałych. Odpowiadająca jej funkcja F jest zadana wzorem

A^SgnMa jt(1)1—'^an(k)k dla A € M_k    (4)

7reSfc

Z powyższego wynika, że jako funkcja wierszy macierzy jest ona wieloliniowa i alternująca; ponadto, F(I) = 1 (dlaczego?). Wobec stwierdzenia 1 w p.l, wzór (4) można więc przyjąć jako definicję wyznacznika. Wzór ten nazywamy pełnym rozwinięciem wyznacznika.

Uwaga 2. Tym samym, zakończony został dowód twierdzenia 1 z p.l. Okazało się też, że prócz własności rozważanych w §1.1, wyznacznik ma następującą własność, wynikającą z jego liniowości ze względu na każdy wiersz, przy ustalonych pozostałych: vi) jeśli, dla pewnego ż, wiersz i-ty macierzy B € Mk jest sumą i-tych wierszy macierzy A i A', a poza tym wierszem macierze A, A' i B są równe, to |B| = | A|+| A'|.