3893820053

IV-6

§2.1.

Zadanie 1. Jeśli 2p ^ Of i funkcja / : X^k —> F jest antysymetryczna, to jest alternująca.

Zadanie 2. By funkcja / : X^k —> F była antysymetryczna wystarcza, by spełniała warunek definiujący te funkcje, lecz ze słowami „dwóch wyrazów” zastąpionymi przez „kolejnych dwóch wyrazów”.

Nasz dalszy plan jest taki, by istnienia wyznacznika dowieść w oparciu o stwierdzenie 1. Najpierw jednak musimy dowieść istnienia jakiejkolwiek niezerowej funkcji antysymetrycznej k zmiennych.

Lemat 1. Niech X = {1,..., A:} i Uo(xi,..., Xk) = Y\i<i<j<k(^xj~^xi) ^xh---i^xk € X. Wówczas uq : X^k —* R jest funkcją antysymetryczną.

Dowód. Wobec zadania 2 wystarczy dowieść, że że gdy (x'_i) otrzymano z (#*) przez zamianę x_s z x_s+i, to uq[x\, ..., x'_k) = —ito(xi,    Nietrudno jednak zauważyć,

że liczba ujemnych różnic #'• — x\ (i < j) o jeden różni się od liczby takich różnic Xj — X{. B

Wykorzystamy też to, jak permutowanie argumentów zmienia wartość funkcji antysymetrycznej .

Definicja. Permutacją zbioru X nazywamy każde różnowartościowe przekształcenie zbioru X ną X. Zbiór wszystkich permutacji zbioru X oznaczamy przez S*, a gdy X = {l,...,n} -przez S„. Permutacje u, r G Sx możemy składać: (a o t)(x) := ct(t(x)) dla x € X, przy czym często zamiast cr ot piszemy ar, a złożenie permutacji nazywamy ich iloczynem.

Permutację o € Sx nazywamy cyklem długości s, jeśli istnieją różne elementy #i, ...,x_s € X takie, że a działa następująco: x\ i—► X2 ... x_s i—» x\ oraz x x dlax € X\{xi, ...,a;_s}. Piszemy wtedy a = (x\,X2, ...,x_s); gdy s = 2, cykl nazywamy transpozycją. Okazuje się, że każda permutacja skończonego zbioru jest iloczynem cykli, a cykl długości s -iloczynem s — 1 transpozycji.

Zadanie 3. Udowodnić to.

Twierdzenie 1. Istnieje jedyna funkcja Sgn : S_n —> {+, —} taka, że dla każdej permutacji a G S_n i każdej funkcji antysymetrycznej u : Xⁿ —> F zachodzi równość

^u(^xa(i), ^xa(n)) = Sgn((j)«(a;i,..., x_n) dla x\,..., x_n G X.    (1)

Ponadto, Sgn(er) = (—l)^s gdy u jest złożeniem s transpozycji.

Dowód. Niech permutacja a G S_n będzie złożeniem s transpozycji. Dla każdej antysymetrycznej funkcji u : Xⁿ —> F otrzymujemy wtedy

(2)

^u(^xa(l)i •■■i^xa(n)) = ( ^— l)*w(a;i, ...,X„) dla Xl, ...,x_n G X.