5109637428

Zamiast wyprowadzenia matematycznego przedstawimy poniżej propozycję wyrażenia spełniającego warunek (16). Wektory sieci odwrotnej można w ogólny sposób wyrazić poprzez liniową kombinację

G = ha* + kb* + lc*, (h, k, l są dowolnymi liczbami całkowitymi)    (17)

następujących wektorów bazowych b x c

a* = 2n t

b* = 2n _T

= 2tt _T

a x b

(18)

|a• (b x c)|’    “    |a- (b x c)|’    ”    "" |a• (b x c)|'^;

W oparciu o właściwości iloczynu wektorowego zachodzi prostopadłość następujących wektorów

a* _L a,

c* _L c

(19)

natomiast iloczyny skalarne tych par wektorowych wynoszą

a* x a = 27r, b* x b = 2n, c‘xc = 2tt.    (20)

Na podstawie takich właściwości matematycznych możemy wykazać, że iloczyn skalarny dowolnego wektora translacji T = r^a + n₂b + n₃c z dowolnym wektorem sieci odwrotnej G = ha* + kb* + lc* jest całkowitą wielokrotnością liczby 2n, tzn.

T • G = (nia + n₂b + n₃c) • (ha* + fcb* + lc*) = (n\h + n₂fc + n₃i) 2ir.    (21)

liczba całkowita

Aby przekonać się, że wektor (17) faktycznie spełnia definicję (16) wektorów sieci odwrotnych wykorzystamy powyższą równość (21)

_eiT-G _ gt(nih+n2fc+n3/)2ir _ j    (22)

ponieważ dla argumentu (\> — (nj/i + n₂fc + n₃/) 2ir zachodzi tożsamość matematyczna e¹^ = cos (4>) + i sin (<fi) = 1 + i ■ 0. W ten sposób odowodniliśmy, że każdy wektor G zdefiniowany wyrażeniem (17) wraz z wektorami bazowymi (18) jest wektorem sieci dowrotnej.

Poszczególne typy sieci Bravais mają przyporządkowane konkretne sieci odwrotne. Na przykład sieć regularna sc charakteryzuje się siecią odwrotną o podobnej strukturze, lecz z inną długością wektorów bazowych |a*| = 27r/|a|. Proste przekształcenia algebraiczne (polegające

12