5167288147

Treści zadań

Zawody indywidualne:

1.    Każdą liczbę naturalną pomalowano na jeden z dwóch kolorów. Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej n istnieją różne liczby naturalne a,b > n takie, że liczby a, b i a + b są jednego koloru.

2.    Niech O i I oznaczają odpowiednio środek okręgu opisanego i wpisanego w nierównoboczny trójkąt ABC. Udowodnić, że ZAIO < 90° wtedy i tylko wtedy, gdy 2BC < AB + AC.

3.    Liczbę naturalną n nazywamy wypasioną, jeżeli dla każdej liczby pierwszej p dzielącej n liczba p² również dzieli n. Rozstrzygnąć, czy istnieje nieskończenie wiele liczb n takich, że n oraz n + 1 są wypasione.

4.    Wyznaczyć wszystkie funkcje / : Z⁺ —> Z⁺ spełniające dla dowolnych liczb całkowitych dodatnich x i y warunek

f{x² + f{y)) = xf(x) + y.

5.    Liczby rzeczywiste a\, a2,..., a_n (gdzie n > 4) spełniają warunki

d\ + «2 + • • • + ci_n n

oraz

a\ + a\ + ... + a²n > n².

Dowieść, że przynajmniej jedna z liczb ai, a2,..., a_n jest nie mniejsza niż

2.

6.    Znaleźć wszystkie liczby naturalne n > 2 takie, że wszystkie liczby naturalne mniejsze od n i względnie pierwsze z n tworzą ciąg arytmetyczny.

7.    Zabezpieczenie sejfu składa się z trzech kół, z których każde może być ustawione w jednej z ośmiu pozycji. Z powodu uszkodzenia mechanizmu blokującego sejf drzwiczki do sejfu można otworzyć, gdy dowolne dwa koła znajdują się w prawidłowej pozycji. Rozstrzygnij jaka jest najmniejsza liczba prób, która gwarantuje otworzenie sejfu.

7