5167288140

Rozwiązania

Zawody indywidualne:

1.    Każdą liczbę naturalną pomalowano na jeden z dwóch kolorów. Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej n istnieją różne liczby naturalne a,b > n takie, że liczby a, b i a + b są jednego koloru.

Rozwiązanie

Sposób I

Pokażemy najpierw, że istnieją a, b > 1 takie, że a, b i a + b są jednego koloru. Przypuśćmy przeciwnie.

Nazwijmy kolory czerwony i niebieski. Bez straty ogólności załóżmy, że 1 jest niebieskie. Jeśli nie istnieje już żadna inna liczba niebieska, to w oczywisty sposób dostajemy sprzeczność, więc istnieje pewna liczba niebieska - n. Wówczas n — 1 oraz n + 1 są czerwone. Gdyby 2 było czerwone, to dostalibyśmy w ten sposób czerwoną trójkę (2, n — 1, n + 1) - zatem 2 jest niebieskie. Skoro 1 i 2 są niebieskie, to 3 jest czerwone.

Analogicznie jak poprzednio wnioskujemy, że istnieje pewna liczba niebieska większa od 4 - niech będzie to n. Wówczas n — 1 oraz n + 2 są czerwone. Jednak wówczas trójka 3, n — 1, n + 2 jest czerwona i spełnia założenia zadania. Sprzeczność.

Analogicznie możemy wykazać, że istnieją a,b > n + 1 spełniające założenia zadania, rozpatrując zamiast zbioru N zbiór (n + 1)N, gdzie kN = {n : n = km, m € N}.

Sposób II

Przypuśćmy nie wprost, że nie istnieją takie liczby a,b > n, że a, b i a + b są jednego koloru. Nazwijmy kolory czerwony i niebieski. Bez straty ogólności niech n + 1 będzie czerwone. Istnieją co najmniej 2 liczby czerwone większe od 2n + 2, w przeciwnym wypadku od pewnego momentu wszystkie liczby byłyby niebieskie i teza byłaby spełniona. Niech a > b będą liczbami czerwonymi i niech b > 2n + 2. Zatem liczby b -1- a, b — (n + 1), (n + 1) + a są niebieskie i wszystkie różne. Jednak (6 — (n +1)) + ((n +1) + a) =b +a, czyli istnieje niebieska trójka złożona z liczb większych od n. Sprzeczność.

2.    Niech O i / oznaczają odpowiednio środek okręgu opisanego i wpisa-

19