276061998

1.4. O liczbach pierwszych i ich własnościach 7

Każdą liczbę naturalną większą od jedynki, nie będącą liczbą pierwszą nazywamy liczbą złożoną.

Pamiętajmy dalej o umowie, iż liczba jeden nie jest ani liczbą pierwszą ani też liczbą złożoną.

Definicja liczby pierwszej i proste zastosowanie identyczności Bezouta prowadzi nas do następującego wniosku.

Własność 1.4.2 (podstawowe własności liczb pierwszych). (1) Jeśli p G V, k € Z, to NWD(p, k) = 1 lub NWD(p, k) = p.

(2) Jeśli p € V, ki,..., k_n € Z, p\ki ■... ■ k_n, to p\ki dla pewnego i = 1,...,n.

Warto zaznaczyć, że 1.4.2(2) jest własnością charakteryzującą liczby pierwsze - moglibyśmy stosując tę własność wprowadzić definicję liczby pierwszej. Jest to o tyle ciekawe z naszego punktu widzenia, że w przyszłości własność ” braku istotnego rozkładu” elementu (jak to jest w przypadku liczby pierwszej, gdzie rozkłada się ona wyłącznie na iloczyn p ■ 1, względnie (— p) ■ (—1)) oraz 1.4.2(2) okażą się być niestety nierównoważne w ogólniejszych strukturach. Doprowadzą nas one do definicji odpowiednio elementów nierozkładalnych i elementów pierwszych, (por. III).

Własność 1.4-2(2) w wersji dla n = 2 to nic innego jak wspomniany wcześniej Lemat Euklidesa, który pojawia się w VII Księdze Elementów, sformułowany dla przypadku dwóch liczb. Gauss ⁴ w swoim dziele Disąuisitiones arithmeticae wypowiada lemat Euklidesa i dowodzi przy jego pomocy twierdzenie o rozkładzie liczb całkowitych na liczby pierwsze, z którego to twierdzenia bezpośrednio wynika też gaussowskie uogólnienie lematu Euklidesa. Jak się często podkreśla ”lemat Gaussa” pojawia się już jednak wcześniej w pracy ”Nouveaux elements de mathematiąues” Jeana Presteta ⁵ 2 XVII wieku.

Definicja, którą wprowadzimy teraz zapewne będzie lekko razić przerostem formy nad treścią. Znów wytłumaczeniem niech będą nasze przyszłe zamierzenia, gdzie słowo "jedność” oznaczać będzie znacznie szerszą klasę elementów niż jest to w przypadku zbioru Z.

Definicja 1.4.3 (jedność w Z). Jednościami w Z nazywamy liczby —1 i 1. Zbiór jedności w Z będziemy oznaczać przez U(Z) := {—1,1}.

Definicja 1.4.4 (rozkład jednoznaczny). Niech k 6 Z*. Mówimy, że k posiada jednoznaczny rozkład na iloczyn liczb pierwszych, jeśli

(1)    istnieją p\,... ,p_r £ V, u € U(Z) takie, że k = u ■ pi •... • p_r,

(2)    dla dowolnych dwóch układów pi,... ,p_T € V, qi,... ,q_s 6 V, u,v € U (Z) takich, że

k = u • pi ■... ■ p_r = v • gi ■... • q_s

mamy r = s oraz istnieje a - bijekcja zbioru {1,..., r} na siebie taka, że: V i G {1,..., r} : Pi =

(⁴) Carl Friedrich Gauss: matematyk, fizyk i astronom niemiecki, (1777-1855), "książę matematyków”

(⁵) Jean Prestet: matematyk francuski, (1648-1690)