Jesteś tu: Bossa.pl Edukacja AT Techniki Transformata Fishera
Zastosowanie transformaty Fishera na rynku kapitałowym
Krzysztof Borowski
Katedra Bankowości SGH
Wprowadzenie
Wiele metod statystycznych stosowanych w analizie technicznej i wykorzystujących do pomiaru ryzyka
odchylenie standardowe przyjmuje milczące założenie, że rozkład zmian cen akcji (lub innych aktywów)
[1]
na giełdzie papierów wartościowych jest rozkładem normalnym (gaussowskim). Można spotkać prace
statystyczne dowodzące, że w istocie rozkład zmian cen nie jest rozkładem normalnym[2].
Transformata Fishera jest prostym zabiegiem matematycznym przekształcającym zbiór danych
wejściowych w zbiór, którego funkcją gęstości prawdopodobieństwa jest funkcją gęstości rozkładu
normalnego. Po jednokrotnym zastosowaniu transformaty Fishera, w zbiorze wynikowym mogą być
stosowane wszystkie metody statystyczne odpowiednie dla rozkładu normalnego. Do ciekawych
wniosków prowadzi także zastosowanie odwrotnej transformaty Fishera.
1. Zwykła transformata Fishera
Zwykłą transformatę Fishera możemy przedstawić w sposób następujący:
Równanie 1
gdzie:
x- sygnał wejściowy
y - sygnał wyjściowy
Rysunek 1. Przykład transformaty Fishera dla sygnałów X z przedziału <-1,1>
y
ródło: opracowanie własne.
W przypadku kiedy sygnał wejściowy x jest bliski wartości przeciętnej, wtedy wartość sygnału
wyjściowego y jest bliska wartości x. Jako przykład rozpatrzymy sytuację, gdy x=0,5, wtedy wartość y
jest nieznacznie większa od 0,5. Dokładnie wynosi ona 0,54931. W przypadku, gdy wartość sygnału
wejściowego jest bliska którejś z wartości skrajnych tj. -1 lub 1, wtedy wartość sygnału wyjściowego jest
znacznie większa od wartości x. W ten sposób następuje wzmocnienie wielkości sygnału wyjściowego.
Można pokazać[3], że otrzymana w wyniku zastosowania transformaty Fishera dla rozkładu
sinusoidalnego (sygnał wejściowy) gęstość rozkładu prawdopodobieństwa jest zbliżona do gęstości
prawdopodobieństwa rozkładu normalnego. W literaturze przedmiotu przyjęto określać taki stan jako
"prawie" gaussowski. Gęstości obu rozkładów tj. sinusoidalnego i "prawie" gaussowskiego są równe w
punkcie x=0.
Rysunek 2. Transformata Fishera rozkładu sinusoidalnego ma rozkład zbliżony do gaussowskiego
y
ródło: opracowanie własne.
Jeśli teraz wybierzemy określoną ramę czasową (np. horyzont 14 lub 30 sesyjny) i dokonamy rozkładu
zmian stóp procentowych wybranego aktywu (lub rozkładu częstości występowania poszczególnych cen
tego aktywu), a następnie przeprowadzimy proces normalizacji tego rozkładu, tak aby sygnał wejściowy
należał do przedziału <-1,1>, a w dalszej kolejności poddamy sygnał wejściowy transformacie Fishera, to
okaże się że ekstremalne zmiany ceny aktywu występują niezwykle rzadko. W ten sposób analitycy mogą
wskazać istotne punkty zwrotne na wykresie ceny analizowanego aktywu.
Przykład transformaty Fishera został przedstawiony na rys. 3 - okno drugie od góry. Punkty zwrotne ceny
akcji KGHM przy zastosowaniu transformaty są jeszcze lepiej widoczne - transformata tworzy wyraz
ne
szczyty lub dołki szybko reagując na zmianę tendencji. Linią przerywaną zaznaczona została wartość
transformaty z poprzedniej sesji - w ten sposób przebicie przez transformatę jej uprzedniej wartości może
być wykorzystane w budowie systemów transakcyjnych jako sygnał kupna lub sprzedaży. Dodatkowo
można na wykresie transformaty zaznaczyć, podobnie jak w przypadku niektórych wskaz
ników, poziomy
wykupienia i wyprzedania sugerujące możliwość zmiany trendu na przeciwny (punkty: 3, 4, 5 i 6).
Przekroczenie poziomów wykupienia lub wyprzedania należy uznać za stan skrajny.
Rysunek 3. Przykład zastosowania transformaty Fishera 14 dniowej na wykresie ceny akcji KGHM
Okno czasowe - 10 sesji, transformowana jest cena średnia ,
gdzie H i L oznaczaną odpowiednio najwyższą i najniższą cenę w trakcie sesji.
y
ródło: opracowanie własne.
Do transformaty Fishera można wykorzystać także jako sygnał wejściowy wartość oscylatora lub
wskaz
nika używanego w analizie technicznej. Na rys. 4 przedstawiona została transformata Fishera z
oscylatora MACD[4], a na rys. 3 z oscylatora ROC (okno pierwsze od góry). Na wykresie transformaty
powstały także formacje stosowane w klasycznej analizie technicznej:
Podwójny szczyt (oznaczony jako pkt 2) - drugi szczyt transformaty MACD zbiegł się z sygnałem
sprzedaży na MACD. Wcześniejszy szczyt transformaty nie został potwierdzony przez szczyt
oscylatora.
Podwójne dno - sygnalizacja końca korekty spadkowej i początek nowej fali wzrostów z okresu
marzec - maj 2006 r.
Negatywna dywergencja - ostrzeżenie przed korektą spadkową styczeń - marzec 2006 r. Trzeci
kolejny szczyt w formacji negatywnej dywergencji pokrył się ze szczytem transformaty Fishera z
ceny przeciętnej obliczonej przy zastosowaniu okna 30 sesyjnego.
Warto odnotować fakt, że zmiana horyzontu czasowego liczenia transformaty Fishera dla ceny przeciętnej
z 10 na 30 sesji dobrze sygnalizowała dwa szczyt ceny akcji KGHM z paz
dziernika 2005 r. (punkt 4) i
stycznia 2006 r. (punkt 5).
Rysunek 4. Przykład zastosowania transformaty Fishera dla oscylatora MACD
Okno czasowe - 30 sesji, transformowany jest oscylator MACD (okno pierwsze od góry). W oknie
drugim zamieszczona została transformata Fishera z oscylatora MACD, a w trzecim transformata Fishera
(30 dniowa) ceny akcji KGHM. W oknie czwartym umieszczony został akcjogram KGHM.
y
ródło: opracowanie własne.
2. Odwrotna transformata Fishera (OTF)
Rozwiązanie równania 1 ze względu na x daje zależność:
Równanie 2
Jeśli teraz sygnał x ma być sygnałem wejściowym, a y wyjściowym to równanie 2 przyjmuje postać
(zamiana zmiennych x z y):
 Równanie 3
Rysunek 5. Sygnał wyjściowy w odwrotnej transformacie Fishera
y
ródło: opracowanie własne.
W przypadku odwrotnej transformaty Fishera dla sygnału wejściowego z przedziału <-0,5; 0,5>, sygnał
wyjściowy jest praktycznie równy wielkości sygnału wejściowego. Jednak w przypadku stanów
ekstremalnych tj. dla x<-2 i x>2, wartość sygnału wyjściowego jest równa odpowiednio -1 i 1. Główną
zaletą odwrotnej transformaty Fishera jest fakt, że sygnał wyjściowy przybiera z dużym
prawdopodobieństwem jedną z wartości: -1 lub 1. Bipolarność odwrotnej transformaty Fishera czyni ją
idealnym narzędziem wykorzystywanym w analizie technicznej do generowania wskazań kupna lub
sprzedaży.
3. Odwrotna transformata Fishera i oscylator RSI
Jednym z najbardziej popularnych oscylatorów AT jest oscylator siły relatywnej RSI. Konstrukcja
oscylatora powoduje, że porusza się on w przedziale od zera do 100. Jeśli od wartości oscylatora
odejmiemy najpierw 50 punktów, a następnie wynik przemnożymy przez jedną dziesiątą:
Równanie 4
to wynik będzie należał do przedziału <-5; 5>, a wartość sygnału wyjściowego y do przedziału <-1; 1>.
W następnej kolejności przy pomocy przekształcenia (normalizacja):
Równanie 5
powracamy do skali od zera do 100, tak aby łatwiej było narysować przetransformowany i
znormalizowany oscylator RSI.
Tabela 1. Przykład obliczenia oscylatora RSI z wykorzystaniem odwrotnej transformaty Fishera
Znormalizowany RSI
Wartość RSI X Y
po odwrotnej transformacie
100 5 1.000 100
90 4 0.999 99.9
80 3 0.995 99.8
70 2 0.964 98.2
65 1.5 0.905 95.3
60 1 0.762 88.1
55 .5 0.462 73.1
50 0 0.000 50
45 -0.5 -0.462 26.9
40 -1 -0.762 11.9
35 -1.5 -0.905 4.7
30 -2 -0.964 1.8
20 -3 -0.995 0.2
10 -4 -0.999 0.1
0 -5 -1.000 0
y
ródło: opracowanie własne.
Wartości oscylatora RSI większe od 60 zostaną przetransformowane do przedziału <88; 100>, zaś
wartości RSI mniejsze od 40 do przedziału <0;12>. Wartości RSI z przedziału <40;60> zostaną
narysowane jako ostre przejście między stanem niskim i wysokim oscylatora RSI.
Rysunek 6. Ilustracja wzajemnego położenia oscylatora RSI i jego odwrotnej
transformaty Fishera na przykładzie indeksu S&P (notowania intraday).
y
ródło: opracowanie własne.
Analogiczną operacją możemy przeprowadzić dla średniej ruchomej z RSI - odwrotnej transformacie
Fishera poddajemy średnią ruchomą z oscylatora. Punkty zwrotne są nadal bardzo wyraz
nie zaznaczone.
Na rys. 7 przedstawione zostało wykorzystanie odwrotnej transformaty Fishera w dwugodzinnym
trendzie bocznym. Stany wykupienia i wyprzedania odwrotnej transformaty stanowią doskonałe momenty
wejścia na rynek lub zamknięcia pozycji długiej.
Rysunek 7. Ilustracja wzajemnego położenia oscylatora RSI i odwrotnej transformaty Fishera
z 9 sesyjnej średniej z RSI na przykładzie indeksu S&P (notowania intraday).
y
ródło: opracowanie własne.
Odwrotna transformata Fishera bazująca na RSI może zostać wykorzystana do budowy prostego systemu
transakcyjnego:
Sygnał kupna (pozycja długa - Buy) - OTF przekracza poziom 50 pkt w górę,
Sygnał sprzedaży (zamknięcie pozycji długiej - Exit Long) - kiedy OTF przebywa powyżej 80 pkt a
następnie przełamuje poziom 80 pkt od góry
Sygnał sprzedaży (pozycja krótka - Sell) - OTF przebija poziom 50 pkt w dół.
Sygnał kupna (zamknięcie pozycji krótkiej - Exit short) - kiedy OTF przebywa poniżej a następnie
przełamuje poziom 20 pkt od dołu
Przykład zastosowania takiego systemu transakcyjnego został przedstawiony na rys. 8.
Rysunek 8. Zastosowanie systemy transakcyjnego z OTF w notowaniach intradayowych w
przypadku indeksu S&P.
y
ródło: opracowanie własne.
Kolejną modyfikacją równania nr 3 i nr 4 może być:
Równanie 6
gdzie:
y oznacza średnią ruchomą 9 sesyjną ze zmiennej x liniowo ważoną ostatnią ceną[5],
z - jest sygnałem wyjściowym ze zmodyfikowanego w ten sposób oscylatora RSI
Rysunek 9. Zastosowanie systemu transakcyjnego z odwrotną transformatą Fishera na przykładzie
akcji KGHM.
y
ródło: opracowanie własne.
W ten sposób możemy stworzyć kolejny system transakcyjny przy wykorzystaniu odwrotnej transformaty
Fishera bazująca na RSI:
Sygnał kupna (pozycja długa - Buy) - OTF przekracza poziom 0,5 pkt od dołu w górę,
Sygnał sprzedaży (zamknięcie pozycji długiej - Exit Long) - kiedy OTF przebija od góry w dół
poziom 0,5
Sygnał sprzedaży (pozycja krótka - Sell) - OTF przebija poziom -0,5 pkt od góry w dół.
Sygnał kupna (zamknięcie pozycji krótkiej - Exit short) - kiedy OTF przebija poziom -0,5 od dołu
w górę.
4. Zastosowanie odwrotnej transformaty Fishera z innymi wskaz
nikami
Odwrotna transformata Fishera może być wykorzystywana także z innym wskaz
nikami analizy
technicznej. Jako przykład podajmy jej wykorzystanie z oscylatorem Cyber cycles[6]. W skrócie dowolny
szereg czasowy można rozłożyć na składową trendu i składową cykliczną.
Rysunek 10. Przykład zastosowania odwrotnej transformaty Fishera w przypadku oscylatora
Cyber cycle.
y
ródło: opracowanie własne.
Głównym zadaniem oscylatora Cyber cycle jest znalezienie komponentów cyklicznych przy
wykorzystaniu procesu filtrowania[7]. Na wykresie oscylatora (pierwsze górne okno na rys. 10) widoczne
są cykliczne zmiany kierunku charakteryzujące się różnymi amplitudami. Zastosowanie odwrotnej
transformaty Fishera uwypukla zmiany kierunku oscylatora i pozwala na generowanie bardziej
precyzyjnych sygnałów zmiany trendu: przełamanie przez OTF poziomów -0,5 i 0,5 pkt - drugie okno od
góry na rys. 10. W przypadku przedstawionym na rys.10 jako linie sygnalne odwrotnej transformaty
Fishera z oscylatora Cyber cycle użyte zostały poziomy -0,5 i 0,5.
Podsumowanie
Rozwój technologii komputerowych i zwiększenie możliwości obliczeniowych powoduje sięganie przez
analizę techniczną do coraz bardziej skomplikowanych narzędzi. Jednym z nich jest proces obliczania
odwrotnej transformaty Fishera dla cen aktywów z wybranego okna czasowego. Wykorzystanie
statystycznych właściwości tej metody pozwala na zastosowanie jej do binarnego generowania wskazań
kupna lub sprzedaży analizowanego aktywu oraz wprzęgnięcie tej metody do budowy systemów
transakcyjnych.
Bibliografia:
1. Achelis S. "Analiza techniczna od A do Z", Oficyna Wydawnicza LT&P, Warszawa 1998.
2. Ehlers J. "Using the Fisher Transform", Technical Analysis of Stocks & Commodities, November
2002.
3.
3. Ehlers J. "Cybernetic Analysis For Stock And Futures", John Willey & Sons, New York 2004.
4. Ehlers J. "The Inverse Fisher Transform", Technical Analysis of Stocks & Commodities, May
2004.
5. Murphy J. "Analiza techniczna", WIG-PRESS, Warszawa 1999.
6. Nowakowski J., Borowski K. "Zastosowanie teorii Fischera i Carolana na rynku kapitałowym",
Difin, Warszawa 2005.
Strony internetowe:
http://www.prophet.net/analyze/popglossary.jsp?studyid=CCO (odsłona z dnia 29.06.2006).
Skrót artykułu
Transformata Fishera jest prostym zabiegiem matematycznym przekształcającym zbiór danych
wejściowych w zbiór, którego funkcją gęstości prawdopodobieństwa jest funkcją gęstości rozkładu
normalnego. Po jednokrotnym zastosowaniu transformaty Fishera lub odwrotnej transformaty Fishera, w
zbiorze wynikowym mogą być stosowane wszystkie metody statystyczne odpowiednie dla rozkładu
normalnego. Te statystyczne właściwości zbioru wynikowego pozwalają na zastosowanie tego
przekształcenia w analizie technicznej i budowie systemów transakcyjnych.
[1] W przypadku transformaty Fishera zastosowanie w analizie technicznej mają raczej ceny aktywów, a
nie ich zmiany.
[2] Ehlers J. "The Inverse Fisher Transform", Technical Analysis of Stocks & Commodities, May 2004.
[3] Ehlers J. "Using the Fisher Transform", Technical Analysis of Stocks & Commodities, November
2002.
[4] Omówienie konstrukcji i zastosowania w analizie technicznej podstawowych oscylatorów i
wskaz
ników (MACD, ROC i RSI) można znalez
ć m.in. w:
1. Murphy J. "Analiza techniczna", WIG-PRESS, Warszawa 1999
2. Achelis S. "Analiza techniczna od A do Z", Oficyna Wydawnicza LT&P, Warszawa 1998.
[5] Liniowa ważona średnia ruchoma przypisuje większą wagę ostatnim cenom, a mniejszą
wcześniejszym. Oblicza się ją mnożąc cenę (najczęściej zamknięcia) przez określoną wagę. Poniżej
przedstawiony został sposób obliczenia średniej ważonej pięciosesyjnej:
Iloczyn
Dzień Waga Cena
ceny i wagi
1 1 25 25
2 2 26 52
3 3 28 84
4 4 25 100
5 5 29 145
Razem 15 133 406
Następnie dzieląc sumę wszystkich iloczynów cen i wag tj. 406 przez sumę wag tj. 15 otrzymujemy
średnią liniowo ważoną pięcioseryjną - 27,067.
Ujęcie matematyczne takiego procesu dla średniej N sesyjnej możemy przedstawić jako:
gdzie:
CW - średnia liniowo ważona z okresu N sesji
C0 - cena na zakończenie ostatniej sesji
C - cena na zakończeni poprzedniej sesji
-1
C - cena zamknięcia N sesji temu
-N+1
Więcej na temat zastosowania liniowo ważonej średniej ruchomej i jej zastosowania w analizie
technicznej można znalez
ć m.in. w: Nowakowski J., Borowski K. "Zastosowanie teorii Fischera i
Carolana na rynku kapitałowym", Difin, Warszawa 2005.
[6] Dokładne omówienia konstrukcji tego oscylatora można znalez
ć m.in. na stronie internetowej:
http://www.prophet.net/analyze/popglossary.jsp?studyid=CCO (odsłona z dnia 29.06.2006).
[7] Oscylator Cyber cycles stanowi narzędzie analizy technicznej wykorzystujące tzw. analizę spektralną
podobnie jak transformata Fouriera.