6700449614

7 Aksjomaty liczb rzeczywistych

Simplicity is the ultimate sophistication.

— Leonardo da Vinci

(a)    (IR, +, -) tworzy ciało. Inaczej mówiąc,

(i) Dla każdych x, y i z w IR, x + (y + z) = (x + y) + z oraz x • (y ■ z) = (x • y) • z. (łączność dodawania i mnożenia)

(ii)    Dla    każdych xiywlR, x + y= y + x oraz x • y = y • x. (przemienność dodawania i mnożenia)

(iii)    Dla    każdych x,y i z w R, x • (y + z) = (x ■ y) + (x • z). (rozdzielność mnożenia względem    dodawania)

(iv)    Dla każdych x w IR, x + 0 = x. (istnienie elementu neutralnego dla dodawania)

(v)    0 nie jest równe 1, oraz dla każdego x w IR, x • 1 = x. (istnienie elementu neutralnego dla mnożenia)

(vi)    Dla każdego x w IR istnieje element —x w IR taki, że x + (—x) = 0. (istnienie elementu odwrotnego dla dodawania)

(vii)    Dla każdego x ^ 0 w IR, istnieje element x~' w IR taki, że x ■ x ¹ = 1. (istnienie elementu odwrotnego dla

(b)    (IR, <) jest zbiorem liniowo uporządkowanym. Inaczej mówiąc,

(i)    Dla każdego x w IR, x ^ x. (ziurotność)

(ii)    Dla    każdych x i y w IR, jeśli x ^ y oraz y < x, to x = y. (ontysymetryczność)

(iii)    Dla każdych x, y i z w IR, jeśli x ^ y oraz y ^ z, to x $ z. (przechodniośó)

(iv)    Dla każdych x i y w IR, x ^ y lub y ^ x. (liniowość)

(c)    Działania + oraz ■ na IR są zgodne z porządkiem ^. Inaczej mówiąc,

(i) Dla każdych x,y i z w IR, jeśli x ^ y, to x + z < y + z. (zachowanie porządku na dodawanie)

ograniczenie górne. Inaczej mówiąc,

(i) Jeśli A jest niepustym podzbiorem IR oraz jeśli A ma ograniczenie górne, to A ma najmniejsze ograniczenie górne u tj. takie, że dla każdego ograniczenia górnego v zbioru A mamy u < v.

Zadanie 7.84. Pokazać, że w ciele liczb rzeczywistych elementy neutralne względem dodawania i mnożenia są wyznaczone jednoznacznie. Innymi słowy:

ViMi [(V,e.x + 8=*)A(V«»x + e = x)] =>0=8 V.,«« [(V„_ax.e = x)A (Vxe*X-e«)s)j«f<!-e

Zadanie 7.85. Uzasadnić, że dla każdej liczby rzeczywistej, element do niej odwrotny względem dodawania jest wyznaczony jednoznacznie.

Pokazać, że dla dowolnej niezerowej liczby rzeczywistej, element do niej odwrotny względem mnożenia jest wyznaczony jednoznacznie.

V_x€iRV_H,_9eiR (x + y=0Ax + y = 0 =t- y=y)

V_xeR, x#o V_H,ggiR (xy = 1Axy = 1=ś-y=y)

Zadanie 7.86. Sprawdzić, że dla każdego x € IR mamy, że —(—x) = x oraz jeśli x ^ 0, to (x^-1 )^-1 = x.

Zadanie 7.87.

Czy prawdą jest, że dla każdego x € IR: x ■ 0 = 0?