6700449616

Zadanie 7.88. Wyprowadzić z aksjomatów liczb rzeczywistych następujące własności:

(a)    V_xei_R,_x^o (£ ¥=0 A -i = ^);

(b)    O¹ = 0 A -0 = 0 A (-1)¹ = 1;

(c)    V_xs,r(0^1 A —x = (—1) • x);

(d)    równanie a • x = b, dla a =/= 0 ma w IR dokładnie jedno rozwiązanie x równe

(e)    równanie a + x = b, w IR, ma dokładnie jedno rozwiązanie x oznaczane jako b — a;

(f)    V_x,_y€iR (- (x + y) = (—x) + (—y));

(g)    V_x,_yelR (x>0Ay >0)=Mx + y > 0).

Zadanie 7.89. W zbiorze IR ma miejsce prawo skracania i upraszczania, tzn. dla dowolnych x, y, z € IR, jeśli x + y = z +y,tox = z; jeśli x 0 oraz xy = xz, to y = z.

Zadanie 7.90. Pokazać, że 0 < 1.

Zadanie 7.91. Pokazać, że jeśli x € IR oraz x > 0, to — x < 0 oraz x^-1 > 0.

Zadanie 7.92. Stosując aksjomaty pokazać, że gdy x,y e IR są takie, że x,y > 0, to xy > 0. Jeśli x > y > 0, to y^-' > x^-1 >0.

Zadanie 7.93. Uzasadnić, że dla x,y € IR zachodzi: x(—y) = (—x)y = — (xy), (—x)(—y) = xy.

Zadanie 7.94. Jeśli x,y € IR oraz xy = 0, to x = 0 lub y = 0.

Zadanie 7.95. Uzasadnić, że dla x € IR takiego, że x ^ 0 mamy: x¹ := x ■ x > 0.

Zadanie 7.96. (*) Wyprowadzić z aksjomatów liczb rzeczywistych następującą multyplikatywną wersję Zasady Archimedesa²: jeżeli x > l,y > 0, to istnieje n € TL takie, że x^n_l $y<x". Wskazówka: Zaadaptować dowód addytywnej wersji Zasady Archimedesa, która brzmi następująco:

V_x,_y€iR (x > 0 =*• 3_neZ (n — 1 )x < y < nx).

Zadanie 7.97. Stosując odpowiednią wersję Zasady Archimedesa wykazać:

(a) V_Qg(0,i, V_£>0 3„_ew aⁿ < £;    (b) V_£>0 3„_£in i < £.

Zadanie 7.98. (Eudoksos¹) Wyprowadzić następującą Zasadę Gęstości Zbioru Liczb Wymiernych w zbiorze liczb rzeczywistych:

q e ® tj. x < q < y.

Wskazówka: Skorzystać z Zasady Archimedesa.

1

Eudoksos z Knidos (gr. Ev6oŁo<r) - grecki astronom, matematyk, filozof i geograf żyjący w pierwszej połowie IV

2

Archimedes z Syrakuz (gr. ApxtłiqSqu; ok. 287-212 p.n.e.), grecki filozof przyrody i matematyk, urodzony i zmarły