0028

29

§ 4. Dalsze własności i zastosowania liczb rzeczywistych

Ponieważ b jest mniejsze niż dowolna (ale ustalona) liczba b'₀, to wystarcza wziąć

a^a — 1)

n>-,

£

gdzie e jest dowolną matą liczbą dodatnią, żeby było

b’ b ~

Ol —a <£ .

Tak więc, w myśl uogólnienia lematu 2, pomiędzy krańcami a⁶ i a^b nie mogą znajdować się dwie różne liczby y.

Jeżeli fi jest wymierne, to podana powyżej definicja sprowadza się do zwykłego rozumienia liczby </.

Łatwo sprawdzić, że dla potęg o dowolnym wykładniku rzeczywistym zachowują się wszystkie zwykłe reguły działań na potęgach. Zatrzymajmy się dla przykładu nad dowodem reguły dodawania potęg przy mnożeniu:

Niech b, V, c, ć będą dowolnymi liczbami wymiernymi, dla których

z definicji sumy [12] a z definicji potęgi

a⁶<a^p<a⁶ ,

b<fi<b', c<y<c'; b + c<fi+y<b' + c', a^c<a^y<a^c ,    a*^+e<ot'^+r«z⁶'^+e\

Mnożąc stronami pierwsze dwie podwójne nierówności (i uwzględniając, że przy wykład nikach wymiernych dowodzona reguła jest już znana) otrzymujemy

Tak więc, obie liczby </^+y i okazują się zawarte pomiędzy krańcami oi^b+c, x^{b +c} , które, jak łatwo dowieść, mogą być uczynione dowolnie bliskimi. Stąd (na podstawie uogólnienia lematu 2) wynika już równość tych liczb.

Zauważmy jeszcze, że przy a > 1 potęga oł rośnie wraz ze wzrostem wykładnika rzeczywistego fi. Jeżeli fi<fi, to wstawiając pomiędzy te liczby liczbę wymierną r. fi<r<fi, otrzymujemy na podstawie samej definicji potęgi o wykładniku rzeczywistym, że </<ol^t oraz <cf, skąd a?<cł.

20. Logarytmy. Posługując się daną definicją potęgi o dowolnym wykładniku rzeczywistym, łatwo już ustalić istnienie logarytmu dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej y przy dodatniej podstawie ct różnej od 1 (przyjmijmy np. że a>l).