0030

31

§ 4. Dalsze własności i zastosowania liczb rzeczywistych

Należy każdemu odcinkowi prostoliniowemu A przyporządkować pewną dodatnią liczbę rzeczywistą 1{A), którą będziemy nazywali długością odcinka A tak, żeby

1)    pewien z góry wybrany odcinek E {jednostkowy) miał długość 1, l(E) = l;

2)    równe odcinki miały tę samą długość;

3)    przy dodawaniu odcinków długość sumy była zawsze równa sumie długości odcinków dodawanych:

l(A+B) = l{A) + ł(B)

(addytywność miary).

Postawione warunki prowadzą do jednoznacznego rozwiązania zagadnienia.

Z warunków 2) i 3) wynika, że q-ta. część odcinka jednostkowego powinna mieć długość 1/^; jeżeli tę część powtórzymy jako składnik p-krotnie, to otrzymamy odcinek, który na podstawie 3) powinien mieć długość plq. Tak więc, jeżeli odcinek A jest współmierny z odcinkiem jednostkowym, a wspólna miara odcinków A i E daje się w nich odłożyć odpowiednio p i q razy, to musi być

<ł

Nietrudno spostrzec, że liczba ta nie zależy od wziętej wspólnej miary oraz że jeżeli odcinkom współmiernym z odcinkiem jednostkowym przypiszemy miary wymierne w myśl tej reguły, to dla tych odcinków zagadnienie mierzenia jest w pełni rozwiązane.

Jeżeli odcinek A jest większy niż odcinek B, tak że A—B+C, gdzie C jest również pewnym odcinkiem, to na podstawie 3) powinno być

l(A)~ł(B)+ł(C),

i ponieważ /(C)>0, więc I(A)>l{B). Tak więc, nierówne odcinki powinny mieć nierówne miary, a mianowicie im większy odcinek, tym większa długość. Ponieważ każda dodatnia liczba wymierna pjq jest długością pewnego odcinka współmiernego z odcinkiem jednostkowym E, więc z tego co powiedzieliśmy, wynika między innymi, że żaden odcinek niewspółmierny z odcinkiem jednostkowym nie może mieć miary wymiernej.

Niech teraz E będzie takim odcinkiem niewspółmiernym z E. Istnieje nieskończona liczba odcinków S i S', współmiernych z E i odpowiednio mniejszych lub większych od Z (^ł). Jeżeli oznaczymy ich długości przez s i s'\ l(S)=s, l(S')=s', to szukana długość /(2T) powinna spełniać nierówności (²)

s<l(Z)<s'.

Jeżeli podzielimy wszystkie liczby wymierne na dwie klasy S i S', zaliczając do klasy dolnej S wszystkie liczby s (a ponadto wszystkie liczby ujemne i 0), a do klasy górnej S'

(*). Łatwo to udowodnić wychodząc z geometrycznego pewnika Archimedesa, o którym mówiliśmy już w ustępie 5.

(²) Zrozumiałe jest, że dla długości odcinka Z współmiernego z E również spełnione są te nierówności.