1 (9)

16

I. Systemy liczb rzeczywistych izsespolonych

Dowód. Sprawdzimy, że są spełnione aksjomaty ciała wymienione w definicji 1.12, (W tym celu będziemy oczywiście wykorzystywali fakt, że R posiada strukturę ciała.)

Niech    = (c, d),z — («,/)•

(Al) jest oczywisty.

(A2)x-ł-y = (a+€,b+d) = (c+a, <1+ b) = y+x.

(A3)(x+y)+z_; =f= (a+c,b+d)+(e,j) — (a+c+e,b+d+f) - (a,b)+(c+e,d+f) =vX+(jM-z). (A4) x+0 = (a, b)+(0,0) w (a, b) =

(A5) Niech -x = (-a, -b). Wtedy x+(-x) <s$ (0,0) = 0.

(Ml) jest oczywisty,

(M2)xy * (ac-bd, ad+bc) — (ca—db, da+cb)= yx.

(M3) (xy)z = (ac-bd, ad+bc) (e,f)= (ace-bde- adf- bęf, acf-bdf+ade+bce) = (a, &)• (ce-df, cf+de) m x (yz).

(M4) 1 i m (1,0) (a, b) - (a,ó)»x.

(M5) Jeżeli x 0, to (a, b) # (0,0), co oznacza, że przynajmniej jedna z liczb rzeczywistych a, b jest różna od 0. Zatem a²+b² > 0, na mocy stwierdzenia 1.18 d) i możemy określić

x yo^+b^^+b²)'

Wtedy

(D)x(y+z) = (a, 6) (c+*,</+/)*= (ac+ ae—bd—bf, ad+af+bc+ be) *» (ac—bd, ad+ bć)+ +(ae-bf, af+be) = xy+xz. ,

1.26.    Twierdzenie. Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i bmamy (a, 0)+ (i, 0) =>(a+b, 0),^;

(a, .0)(ó, 0)ss (ab, 0).

Do w ód jest trywialny.

Twierdzenie 1.26 pokazuje, że liczby zespolone o postaci (a, 0) mają te same własności arytmetyczne co odpowiadające im liczby rzeczywiste a, Możemy więc identyfikować (a, O) z a. Identyfikacja ta pozwala nam traktować ciało liczb rzeczywistych jako podciało ciała liczb zespolonych.

Czytelnik zauważył pewno, że zdefiniowaliśmy ciało liczb zespolonych bez jakiejkolwiek wzmianki o tajemniczym pierwiastku kwadratowym z --1. Pokażemy teraz, że notacja (o, b) jest równoważna z częściej używaną a+bi.

1.27.    Definicja, i = (0,1).

1.28.    Twierdzenie, i² a-l.

Dowód, i² = (0,1) (0,1) = (-1,0) = -1.

1.29.    Twierdzenie. Jeżeliaibsą liczbami rzeczywistymi, to (a,b) — a+bi.

Dowód, a+bi = (a, 0)+(b, 0) (0,1) = (a, 0) + (0, 0)« (a, b).

1.30.    Definicja. Jeżeli a, b są liczbami rzeczywistymi iz = a+bi, to liczbę zespoloną z =