1 (13)

1. Systemy liczb rzeczywistych i zespolonych

Krok 2. Określimy warunek „a < /?” jako oznaczający, że a jest właściwym podzbiorem p. Sprawdzimy,że to określenie czyni zadość warunkom definicji i.5. Istotnie, jeżeli ol< piP < < y, to jest jasne, że a < y. (Podzbiór właściwy podzbioru właściwego jest podzbiorem właściwym.) Jest także jasne, że dla ustalonej pary a, /? może zajść co najwyżej jedna z trzech relacji

a < p, a « P, p < a.

Aby pokazać, że przynajmniej jedna zachodzi, załóżmy, że nie jest spełniona żadna Z pierwszych dwu relacji. Znaczy to, że a nie jest podzbiorem /?. Zatem istnieje p e a taki, że p4P- Jeżeli q 6 p, to q < p (bop e p), a więc q e ana mocy II. Wynika stąd, że P c ct, a ponieważ P ¥* ot, więc wnioskujemy, że P < <x. Wobec tego R jest zbiorem uporządkowanym.

Krok 3. Zbiór uporządkowany ił posiada własność istnienia kresów górnych.

Dla dowodu, niech A będzie niepustym podzbiorem R, i Załóżmy, Że p e R jest ograniczeniem górnym A. Niech y będzie sumą wszystkich zbiorów a należących do A. Inaczej mówiąc, p e y wtedy i tylko wtedy, gdy p e a przy pewnym a eA. Udowodnimy, żey e R oraz że y — * supA.

Ponieważ A jest niepusty, więc istnieje «₀ e A. Zbiór a₀ jest sam także niepusty, a ponieważ «ó Hfc y, także y jest niepusty. Dalej y <i p (ponieważ a^z P dla dowolnego cl e A), a wobec tego y # Q. Widzimy więc, że y spełnia warunki I. Aby udowodnić, że f spełnia także Ij[ i III, wybierzmy p ę% Wtedy pea^ przy pewnym &Jt Ą~Jeżeli jr < jp, tb qM«i,awigpg « % ćb dowodzi, że spełniona jest własność II. Jeżeli wybierzemy re a, w ten sposób, aby r > g, tp mamy r ąyij^bp % c jk a więc y spełnia też III, Zatem y e|!.

Jest widoczne, że a < y dla dowolnego <x e A. Przypuśćmy, że d < y. Wtedy istnieje s e y taki, że s 4 <5- Ponieważ ś f y, więc musi być s e a. przy pewnym a e A. Zatem <5 ti, a ió nie jest ograniczeniem górnym zbioru A. Pokazaliśmy w len sposób, żey = sup A.

Krok 4. Dla a e R i P e R określimy sumę a+p jako zbiór wszystkich liczb wymiernych ó postaci r+s, gdzie r 6 a i s e p.

Określimy element 0* jako zbiór wszystkich ujemnych liczb wymiernych. Jest widoczne, że 0* jest przekrojem. Sprawdzimy teraz, że aksjomaty dodawania (zobacz definicję 1.12) są spełnione w R; przy czym rolę 0 gra element O*.

(Al) Mamy pokazać, że ol+P jest przekrojem. Jest widoczne,że^;a+j? jest niepustym podzbiorem Q. Niech r' 4 a i s' 4 P- Wtedy+'+s'>>t r+s dla dowolnie wybranych r e a i Zatem r+Y 4 a+/?i wobec tego a+p posiada własność I.

Ustalmypea+j8. Wtedy p = r+ s,gdzier6a,sep. Jeżeliq < p,tog—s < r, więcg—sea i 4 f* W~ seoL+p. Wobec tego warunek II jest też spełniony. Wybierzmy te <x tak, aby t> r.

Wtedy p < t+s i t+s e ol+P, więc III zachodzi.

(A2) ol+P jest zbiorem wszystkich sum r+s przy r s a, s e p. Na mocy tej samej definicji P + a jest zbiorem wszystkich sum s+r. Ponieważ r+s = s+ r dla dowolnych reQ i se Q, więc a+P - P+ol.

(A3) W sposób analogiczny jak poprzednio warunek ten wynika z prawa łączności dla dodawania w Q.

IA4) Jeżeli reocis e 0*, to r+s < r, więcr+fea. Zatem a«+0* e a. W celu otrzymania