1 (11)

18

1. Systemy liczb rzeczywistych i zespolonych

Zakończymy ten paragraf podaniem ważnej nierówności, znanej pod nazwą nierówności Schwarza.

1.35.    TWIERDZENIE. Jeżeli a_u..., a„ oraz b_lt..., b„ są liczbami zespolonymi, to

I t ajb/ < t la/ t |6>l².

j*i    J-t    J*i

Dowód. Niech A —    & — ZAI²» £    (^we wszystkich sumach j przebiega

wartości 1,2,..., n). Jeżeli 5=0, to b_k = ... = b„ = 0, i teza jest natychmiastowa. Załóżmy więc, że B > 0. Na mocy twierdzenia 1.31 mamy wtedy

II Ba^ĆbJi² = Z(Baj-Cbj)(Ba_rĆbj)= B²    - BĆ^j- BC    IC|²2>/ =

= B²A-B\Ć\² = B(AB~    '

Ponieważ każdy z wyrazó w występujących w pierwszej z sum jest nieujemny, więc widzimy, że

5(/!B-|Cp)> 0.

Ponieważ B > 0, więc otrzymujemy stąd wniosek, że AB- |C|² > 0, co jest żądaną nierównością.

Przestrzenie euklidesowe

1.36.    Definicja. Przy dowolnej liczbie naturalnej k niech R^k będzie zbiorem uporządkowanych fc-wyrazowych ciągów

X = (*i,    x*),

gdzie x„ x₃,..., x_k są liczbami rzeczywistymi, zwanymi współrzędnymi elementu x. Elementy R^k są zwane punktami lub wektorami, szczególnie w przypadku k > 1. Wektory będziemy oznaczali literami pogrubionymi. Jeżeli y = (y_It..., y_k) i a jest liczbą rzeczywistą, to

ax =    <•,««*),

wtedy oczywiście x+y e R^k i ax e R^k. Powyższe wzory definiują dodawanie wektorów oraz mnożenie wektora przez liczbę rzeczywistą (skalar). Obie te operacje spełniają prawa prze-mienności, łączności oraz rozdzielności mnożenia względem dodawania (dowody są banalne, ponieważ analogiczne własności zachodzą w ciele liczb rzeczywistych). Istnienie obu operacji spełniających wymienione własności czyni z R" przestrzeń wektorową nad ciałem liczb rzeczywistych, Zerowym elementem R* (zwanym czasem początkiem układu współrzędnych lub wektorem zerowym) jest punkt 0, którego wszystkie współrzędne są równe 0.

Określimy teraz tak zwany „iloczyn wewnętrzny” (lub inaczej iloczyn skalarny) dwu punktów x i y za pomocą wzoru

? k ■ V: p i

■ *7= ŁjjiF-ł

i= j

oraz wpro

Obecni żej iloczyn*

U7. T

a)    |x| %

b)    l*| =

c)    |ax| •-

d)    |xy| -

e)    jx4§y

f)    |x-z Dowód

ności Schwa

|x+j

co dowodzi i y-z w miejs

1.38. Uy cznej (zobac R¹ (zbiói nazywana pi tych przypac liczby rzeczy

Udowodn podzielimy m Krok 1. El my podzbiór t I. a jest

II.    Jeżeli

III.    Jeżeli, Litery p,ą,

oznaczali prze Zauważmy dwa warunki, 1 Jeżeli p e U Jeżeli r e a

2*