1 (18)

24

1. Systemy liczb rzeczywistych i zespolonych

d)    Jeżeli w spełnia b" < y, to b"⁺<'M < y dla dostatecznie dużych n; aby to pokazać zastosujemy część c) przy t = yb~^w.

e)    Jeżeli b^w > y, to b"-n/») > y dla dostatecznie dużych n.

f)    Niech A będzie zbiorem tych wszystkich w, że b^w < y. Pokazać, że x = sup A spełnia równość b* - y.

g)    Udowodnić, że taki x jest jedyny.

8.    Wykazać, że nie istnieje porządek określony w zbiorze liczb zespolonych, przy którym C staje się ciałem uporządkowanym.

Wskazówka. — 1 jest kwadratem.

9.    Niech r = a+bi,w= c+ di. Powiemy, że z < w, jeżeli o < c, a także kiedy a = c, lecz b < d. Pokazać, że relacja ta jest porządkiem w zbiorze liczb zespolonych. (Ten typ uporządkowania nazywamy słownikowym lub leksykogra-ficznym, z przyczyn oczywistych.) Czy tak uporządkowany zbiór C posiada własność istnienia kresów górnych?

10.    Przypuśćmy, że z = a+bi, w W u+vi. Niech

Wykazać, że z² = w przy v > 0 oraz (z)² = w przy u < 0. Wywnioskować, że każda liczba zespolona (z jednym wyjątkiem) posiada dwa zespolone pierwiastki kwadratowe.

11.    Niech z będzie liczbą zespoloną. Wykazać, że istnieją r > 0 i liczba zespolona w, spełniająca |w( = 1, takie, że z = rw. Czy w i r są jednoznacznie określone przez z?

12.    Niech Zj,..., Zn będą liczbami zespolonymi. )Vykazać, ze

|z,+z₂+...+z„| « |z,|+|z₂|+...+|z„|,

13.    Niech x, y będą liczbami zespolonymi. Wykazać, że

jM-M| \x-y\-

14.    Niech z będzie liczbą zespoloną taką, że |z| = 1, tj. zź = 1. Obliczyć |l+a|²+|l-z|².

15.    W jakim przypadku w nierówności Schwarza zachodzi równość?

16.    Niech k > 3, x, y e R^k, |x-y| = d > 0 i r > 0. Udowodnić, że:

a)    Jeżeli 2r > d, to istnieje nieskończenie wiele zeR^k takich, że

|z-x| = |z-y| = r.

b)    Jeżeli 2r = d, to istnieje dokładnie jeden taki z.

c)    Jeżeli 2r < d, to elementy z o powyższej własności nie istnieją. W jaki sposób należy zmodyfikować te stwierdzenia przy k = 1 lub 2?

17.    Udowodnić, że |x+y|²+|x-y|² = 2|x|²+2|y|², jeżeli x, y e R^k.

18.    Przy k > 2 i x s R^k udowodnić, że istnieje y e. R^k taki, że y ^ 0, lecz x-y — 0. Czy jest to prawdą dla k = 1?

19.    Niech aeR^k, bel?*. Znaleźć ceJł* i r > 0 tak, aby |x-a| = 2|x-b| wtedy i tylko wtedy, gdy |x-c| = r.

(Rozwiązanie. 3c= 4b—a, 3r= 2|b—a|.)

20.    Przy oznaczeniach z dodatku, przypuśćmy, że własność III definicji przekroju została opuszczona. Zachowując te same określenia porządku i dodawania, udowodnić, że otrzymany zbiór uporządkowany posiada własność istnienia kresów górnych oraz że dodawanie spełnia aksjomaty (Al) do (A4) (z lekko zmienionym elementem zerowym!), lecz nie spełnia aksjomatu (A5).