672581045

Przykład 0.5.7 (Czas do równowagi) Nieskończona wartość oczekiwana pojawia się w sposób bardzo naturalny: rzucamy monetą, niech H_n oznacza ilość orłów w n rzutach, T_n = n — H_n, oznacza ilość reszek w n rzutach. Czas zrównania się ilości orłów i reszek po raz pierwszy możemy zdefiniować jako N = min{n : H_n = T_n}. EN = +oo.

Do liczenia wartości oczekiwanej nieujemnych zmiennych losowych X o wartościach całkowitych użyteczny jest wzór:

EX = jr P(X > n)

n=l

Przykład 0.5.8 Rozkład geometryczny na {1,2,...}. p(i) = (1 - p)^l~^lp, dla p € (0,1). EX = 1/p. . 0.5.1 Momenty, funkcje tworzące

Niech Y = ip(X), dla pewnej funkcji tp : R —> R. Wtedy EY = Y.ieZ    = i), dla X typu

dyskretnego o wartościach całkowitych. Gdy X ^ f ma gęstość, to EY = ip(x)f(x)dx.

Jeśli Y przyjmuje (niekoniecznie całkowite) wartości y\, 7/2, z prawdopodobieństwami p(l),p(2),... odpowiednio, to EY = Vip(i)-\

Przykład 0.5.9 Rzut kostką. X liczba oczek, Y = \/~X.

Przykład 0.5.10 Momenty rozkładu jednostajnego. X ~ t/[0,1], Y = X^k dla k G N. (4>(x) = x^k) .

^E5' = sh-

Definicja 0.5.3 Dla zmiennej losowej X, wartość EX^k < co, k € N( o ile istnieje i jest skończona) nazywamy k—tym momentem X. (Wartość oczekiwana jest pierwszym momentem).

Przykład 0.5.11 Funkcja tworząca momenty rozkładu wykładniczego. Niech X ~Wykładniczy (A). Wtedy dla Y = e^ix,t < A, EY = £-_t.

Przykład 0.5.12 Funkcja tworząca momenty rozkładu gamma. Niexh X ~ gamma(n, A). Wtedy dlaY = e^tx,t < X,EY = (^r_t)ⁿ.

Definicja 0.5.4 Dla zmiennej losowej X funkcję ipx(t) = Ee^tx

określoną dla t € R (być może o wartościach nieskończonych) nazywamy funkcją tworzącą momenty zmiennej X.

Zwązek tej funkcji z momentami zmiennej X jest następujący EX^k = _VJ>(0) dla k e N.

Przykład 0.5.13 Momenty rozkładu wykładniczego. X ~ Wykładniczy (A), wtedy EX^k = jy.

19