Egzamin z matematyki, 2 sem. WBWiIÅš, r. 2002/2003
Nazwisko i imi¸ ........................................................................................... Grupa ..........
e
I. Cz¸Å›Ä‡ zadaniowa
e
1. Wyznaczyć najwi¸ a i najmniejsz¸ wartość funkcji z = x2 + 2xy - 4x + 8y w
eksz¸ a
prostok¸ którego boki znajduja si¸ na prostych x = 0, y = 0, x = 1 i y = 2.
acie, ¸ e
"
1
2. a) Wyznaczyć sum¸ szeregu liczbowego .
e
16n2 - 8n - 3
n=1
"
(n - 1)!(n + 3)!5n
b) Zbadać zbieżność szeregu
(2n)!
n=1
"
2 y
2y
3. Rozwiazać równanie y + = .
¸
x
cos2 x
4. Za pomoc¸ ca podwójnej obliczyć obj¸ bry ograniczonej powierzchniami
a lki etość ly
z = x2 + y2, z = 0 oraz x2 + y2 = x i x2 + y2 = 2x (dla x d" x2 + y2 d" 2x).
"
y
5. Obliczyć (2xy + " ) dx + (x2 + x + 1) dy po dowolnej krzywej C (nie prze-
2 x + 1
C
chodzodz¸ przez prost¸ x = -1) od punktu A(0, 0) do B(3, 1).
acej a
z sin Ä„z
6. Korzystaj¸ ze wzoru Cauchy ego obliczyć dz, gdzie K jest a zamkni¸
ac laman¸ e-
z4 - 1
K
t¸ przechodz¸ a przez punkty 0, -2 + i oraz -2 - i.
a ac¸
II. Cz¸Å›Ä‡ teoretyczna
e
T.1 Podać definicj¸ pochodnej cz¸ edu
e astkowej rz¸ pierwszego funkcji dwóch zmiennych.
Sformu twierdzenie Schwarza. Sprawdzić jego prawdziwość na dowolnym przy-
lować
k
ladzie.
T.2 Sformu twierdzenie o zamianie zmiennych w ca potrójnej. Podać dowolny
lować lce
przyk zamiany zmiennych w ca potrójnej i wyprowadzić jego jakobian.
lad lce
T.3 Podać definicj¸ promienia i przedzia zbieżnoÅ›ci szeregu pot¸ lować
e lu egowego. Sformu
dwa kryteria wyznaczania promienia zbieżności. Wyznaczyć przedzia zbieżności dla
l
dowolnego szeregu pot¸
egowego.